Sistemas

3.4. Algunos ejemplos de ingenier´ıa el´ectrica 59
donde pGi es la potencia activa generada en el nudo i; PDi, la potencia activa
demandada en el nudo i; vi, la magnitud del voltaje; δi, el ´angulo en el nudo i;
yik, el m´odulo; y θik, el argumento de una constante compleja que depende de
la topolog´ıa y la estructura f´ısica de la red; n, el n´umero de nudos de la red.
De manera an´aloga,la potencia reactiva neta que llega a un nudo i puede
expresarse en funci´on de todas las magnitudes y ´angulos del voltaje en la red;
qGi − QDi = vi
n
k=1
yikvk sin(δi − δk − θik)
donde qGi es la potencia reactiva generada en el nudo i; y QDi es la potencia
reactiva demandada en el nudo i.
La magnitud del voltaje de todo nudo debe estar limitada superior e inferiormente
V i
≤ vi ≤ V idonde V i es la cota inferior para la magnitud del voltaje en el nudo i, y V i la
cota superior.
Los generadores pueden producir potencia activa por encima de una cierta
cota inferior y por debajo de una cierta cota superior
PGi
≤ pGi ≤ PGi
donde Pi es la m´ınima potencia activa que puede salir del generador i y Pi es
la m´axima.
De la misma manera, los generadores pueden producir potenciareactiva
entre una cota inferior y una superior
Q
Gi
≤ qGi ≤ QGi
donde Q
i
es la m´ınima potencia reactiva de salida en el generador i y Qi es la
m´axima.
Los cuatro elementos de este problema son
1. Datos
n: el n´umero de nudos en la red
(yik, θik): un n´umero complejo que tiene m´odulo yik, y argumento θik el cual
depende de la topolog´ıa y estructura f´ısica de la red
PDi: lademanda de potencia activa en el nudo i
QDi: la demanda de potencia reactiva en el nudo i
V i: la cota inferior para el m´odulo del voltaje en el nudo i
V i: la cota superior para el m´odulo del voltaje en el nudo i
PGi: la potencia activa de salida m´ınima del generador i
PGi: la potencia activa de salida m´axima del generador i
60 Cap´ıtulo 3. Programaci´on no lineal
Q
Gi
: la potenciareactiva de salida m´ınima del generador i
QGi: la potencia reactiva de salida m´axima del generador i
Ci: el precio por unidad de potencia activa en el generador i
2. Variables
vi: el voltaje en el nudo i
δi: el ´angulo en el nudo i
pGi: la potencia activa generada en el nudo i
qGi: la potencia reactiva generada en el nudo i
3. Restricciones. Hay distintos tipos de condiciones.
(a)Equilibrio de potencia activa:
pGi − PDi = vi
n
k=1
yikvk cos(δi − δk − θik), ∀i = 1, 2, . . . , n
(b) Equilibrio de potencia reactiva:
qGi − QDi = vi
n
k=1
yikvk sin(δi − δk − θik), ∀i = 1, 2, . . . , n
(c) Cotas para las variables:
V i
≤ vi ≤ V i, ∀i = 1, 2, . . . , n
PGi
≤ pGi ≤ PGi, ∀i = 1, 2, . . . , n
Q
Gi
≤ qGi ≤ QGi, ∀i = 1, 2, . . . , n
(d) Cotas para los ´angulos:
−π ≤ δi ≤π, ∀i = 1, 2, . . . , n
El origen para los ´angulos se sit´ua de modo arbitrario en cualquier nudo
(por ejemplo, el nudo k, δk = 0).
4. Funci´on a minimizar. Dada Ci, el precio de producci´on de la unidad de
potencia activa en el generador i, el flujo ´optimo de potencia se convierte
en la minimizaci´on de
Z =
n
i=1
CipGi
bajo todas las restricciones anteriores.
3.4. Algunos ejemplos deingenier´ıa el´ectrica 61
Ejemplo 3.2 (flujo ´optimo de potencia). Consid´erese una red con 3 nudos
y 3 l´ıneas. Los par´ametros de tal red son
y11 = 22.97, θ11 = −1.338
y22 = 21.93, θ22 = −1.347
y33 = 20.65, θ33 = −1.362
y12 = y21 = 12.13, θ12 = θ21 = 1.816
y13 = y31 = 10.85, θ13 = θ31 = 1.789
y23 = y32 = 9.81, θ23 = θ32 = 1.768
El nudo 1 es un generador con cotas inferior y superiorpara la potencia
activa generada de 0 y 3, respectivamente, y para la potencia reactiva de -1
y 2, respectivamente. Las cotas para la generaci´on de potencia activa para el
generador 2 son, respectivamente, 0 y 3, y para la potencia reactiva -1 y 2,
respectivamente. El nudo 3 es de consumo con una demanda de 4.5 y 1.5. Los
l´ımites permitidos para el m´odulo del voltaje en los nudos 2 y 3...