Sjodpojdpojdpod

´ GU´ No 3 DE CALCULO IA Ingenier´ Civil Industrial (B-07) ıa Martes 08 de Junio de 2010 Profesores: Luis M. Riquelme Q. Ayudante: Ma Francisca Neira.

1. Se dice que una funci´n f : X ⊆ R → Y ⊆ R es inyectiva, si Dados x, z ∈ X o x = z =⇒ f (x) = f (z) Una forma equivalente de probar esto es demostrar que f (x) = f (z) =⇒ x = z. a) Pruebe que f : R − inyectiva. b) Pruebe que g : R → R con g(x)= 1 + x2 no es una funci´n inyectiva. o c) ¿Es posible determinar un conjunto H ⊆ Dom g, tal que g sea inyectiva? 2. Se dice que una funci´n f : X ⊆ R → Y ⊆ R es epiyectiva si Rec f = Y o a) Pruebe que f : R − epiyectiva. b) Pruebe que g : R → R con g(x) = 1 + x2 no es una funci´n epiyectiva. o c) ¿Es posible determinar un conjunto G ⊆ Rec g, tal que g sea epiyectiva? 3. Se dice que una funci´n f: X ⊆ R → Y ⊆ R es biyectiva si es inyectiva y o epiyectiva. a) Pruebe que f : R − biyectiva. b) Pruebe que las funciones l : R → R con l(x) = mx + n, para m ∈ R − {0} y n ∈ R constantes, son todas biyectivas. c) Pruebe que g : R → R con g(x) = 1 + x2 no es una funci´n biyectiva. o d ) ¿Es posible determinar conjuntos H ⊆ Dom g y G ⊆ Rec g, tal que g sea biyectiva? 5 3 → R− 2 3 con f (x) = 2x − 1es una funci´n o 3x + 5 5 3 → R− 2 3 con f (x) = 2x − 1 es una funci´n o 3x + 5 − 5 3 → R con f (x) = 2x − 1 es una funci´n o 3x + 5

1

4. Sean f : X → Y y g : Y → Z funciones, se define su funci´n compuesta o (g ◦ f ) : X → Z como (g ◦ f )(x) = g f (x) . Determine (f ◦ g)(x) y (g ◦ f ) para: √ 3x − 1 , g(x) = x − 3. 2x + 4 x 3 b) f (x) = 3x − 7, g(x) = + . 7 7 √ 2 c) f (x) = g(x) = 1 − x 11 d ) f (x) = , g(x) 2 1−x 1 + x2 a) f (x) = 5. Una propiedad de las funciones biyectivas es que podemos determinar una funci´n inversa para ellas, vale decir, la relaci´n inversa de f , denotada por o o −1 f , es tambi´n una funci´n, tal que si f : X → Y , entonces f −1 : Y → X, e o donde si a = f (b) entonces b = f −1 (a), y si denotamos por IH a la funci´n o I : H → H, tal que I(x) = x, ∀ x ∈H, llamada identidad en H, tenemos que

f ◦ f −1 (x) = IY f −1 ◦ f (x) = IX 7x − 3 , justificando su existencia. 1 − 5x b) Determine la funci´n inversa de f (x) = x2 + 1 considerando un dominio o y recorrido apropiados para la existencia de la misma. √ c) Determine la funci´n inversa de f (x) = x2 + 1 considerando un dominio o y recorrido apropiados para la existencia de la misma. √ d ) Determinela funci´n inversa de f (x) = 1 − x2 considerando un dominio o y recorrido apropiados para la existencia de la misma. a) Determine la funci´n inversa de f (x) = o 6. Una funci´n es par, si f (x) = f (−x), geom´tricamente esto quiere decir o e que f es sim´trica respecto del eje Y como se muestra en la figura 1 e Una funci´n es impar, si f (x) = −f (−x), o equivalentemente, si f (−x) = o −f (x),geom´tricamente esto quiere decir que f es sim´trica respecto del e e origen O como se muestra en la figura 2 a) Demuestre que la funci´n f (x) = o |x| + 3 es una funci´n par. o x2 + 5 x|x| b) Demuestre que la funci´n f (x) = 2 o es una funci´n impar. o x + 5|x| c) ¿Puede una funci´n par ser tambi´n inyectiva?. o e
x→+∞

d ) Sea f una funci´n par, tal que o
x→−∞

l´ f (x) = 8 ¿Cu´l es el valorde ım a

l´ f (x)? ım 2

Figura 1: Un ejemplo de funci´n par o

Figura 2: Un ejemplo de funci´n impar o

e) Sea f una funci´n impar, tal que l´ f (x) = 8 ¿Cu´l es el valor de o ım a
x→+∞ x→−∞

l´ f (x)? ım

f ) Sean f, g funciones pares y u, v funciones impares, ¿qu´ puede decir de la e paridad de f g, uv, f u? 7. Se define la funci´n parte entera de x, denotada por [x], como el menorentero o mas cercano a x, vale decir Si x ∈ Z entonces [x] = x. Si x ∈ Z entonces podemos afirmar que ∃m ∈ Z : m < x < m + 1, en / cuyo caso [x] = m. a) Determine [0], [2], [−2], [0,8], [−0,8], [1,4], [−1,4], [π], [−π], [e], [−e]. b) Esboce el gr´fico de f (x) = [x]. a 1 1 c) Pruebe que l´ ım m − = l´ ım m − n→+∞ n→+∞ n n 3

para m ∈ Z.

8. Se dice que una funci´n tiene periodo T , con T > 0,...