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Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

La recta tangente a una curva en un punto x=a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta 3x +y -2 =0. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) m = −3 f'(a) = 2a - 5 2a − 5 = −3a = 1 P(1, 2) y − 2= -3 (x − 1) Ecuación de la recta normal y = -3x + 5

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La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función endicho punto.

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto (a, f(a)) será pues:

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b) m=1 f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0 Punto de tangencia:(0, 1) Recta tangente: y − 1 = x y = x +1 Recta normal: m= 1P(0, 1) y − 1 = −x y =−x + 1

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Crecimiento y decrecimiento
Función estrictamente creciente

Función creciente

Función estrictamente decreciente

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Función decreciente

Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Crecimiento Si f es derivable en a:

Decrecimiento Si f es derivable en a:

Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f(x) = x3 − 3x + 2 Para hallar sucrecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos: 1. Derivar la función. f '(x) = 3x2 −3 2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0. 3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1 3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en laderivada primera. Si f'(x) > 0 es creciente.
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Si f'(x) < 0 es decreciente. Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo. f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0 Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0 Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo. f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: De crecimiento: (−∞, −1) Dedecrecimiento: (−1,1) E je mp l o : Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: (1, ∞)

Extremos relativos o locales: máximos y mínimos
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Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0. Máximos relativos o locales Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0 Mínimosrelativos o locales Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0 E je mp l o : Estudiar los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2 Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signoque toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

Concavidad y convexidad
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Se adopta el criterio de que el valle tiene formacóncava y la montaña forma convexa. E je mp l o : Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función: f(x) = x3 − 3x + 2 Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f''(x) = 6x 6x = 0x = 0. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de...
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