Sol.Matm.

Matemática
Pregunta N.º 20
Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es
el menor posible y cuya gráfica se representa a
continuación.

Ejecución del plan
I.

p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;

Encuentre el residuo al efectuar la división de
p(x) con q(x)=x – 3.

a, b ∈ Z+
Como el grado de p(x) es el menor posible,
entonces
a=1 y

A) – 6

b=1

B) – 4

Luego, tenemos

C) – 1D) 1
E) 4

p(x)=k(x – 1)2(x – 2)
De la gráfica
p(0)=2

Solución

p(0)=k(–1)2(–2)

Tema

p(0)=2

Gráfica de funciones polinomiales

→ k=–1
Luego
p(x)=–(x – 1)2(x – 2)

Referencias
Para la solución del problema se necesita
conocer:
• Gráfica de una función polinomial.

II. Aplicando el teorema del resto tenemos
p( x)
x−3
→ R(x)=p(3)

• Teorema del resto.
Análisis yprocedimiento
Plan de resolución
I. A partir de la gráfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x).
II. Aplicar el teorema del resto.

p(3)=–(2)2(1)
∴

p(3)=– 4

Respuesta
El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.

Alternativa B

15

Matemática
Pregunta N.º 21
En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de
lado 2R, además BC es diámetro de la semicircunferencia decentro O y radio de longitud R. Si T es
un punto de tangencia entonces m TOA es

Como

ABCD es un cuadrado

→

BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R

Trazamos OD → OD: Bisectriz del
Luego,

m CDO=

B) 8
C) 10

TOCD: inscriptible
m BOT=53º

OBA (not

Circunferencia

En

semicircunferencia debemos aplicar los teoremas
que se cumplen en la circunferencia.
Análisis y procedimiento

53º
2OBA
53º+x+

se puede obtener dicha medida; por ejemplo,
un triángulo; además, como se observa una

53º
)
2

→ m BAO=

En la pregunta nos piden la medida de un ángulo;
entonces, debemos ubicarlo en una figura donde

y

→ m BOT=m CDT

Solución

Referencias

53º
):
2

53º
2

En

E) 12,5

Tema

53º
2

m ODT=

A) 7,5

D) 10,5

OCD (not.

CDT

x=

53º=90º
2

21º
2

→ x=10,5º
Respuesta
La medida del ángulo TOA es 10,5º.

En el gráfico,
nos piden x.

Alternativa D

16

Matemática
Pregunta N.º 22

QR // DB

ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a
los catetos se construyen los triángulos equiláteros
ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE,
BC y DC respectivamente. Si el área de la región
triangular ABC es 32cm2, entonces el área de la
región triangular PQR (en cm2) es

→ m RQC=150º y RQ=
PQ // EC
→ m PQC=120º y
PQ=

A) 4

B) 6

D) 12

C) 8
E) 16

BD
2

EC
2

Luego
m PQR=90º

Solución
Tema

En el gráfico,
PQR ~

Área de regiones triangulares

Por áreas de regiones semejantes

Referencias

A PQR

Para relacionar las áreas de dos regiones triangulares, se buscala relación entre los elementos
de ambos triángulos (lados, alturas, medida de
ángulos, etc.).

A ABC

⎛ razón de ⎞
=⎜
⎟
⎝ semejanza ⎠

2

Reemplazamos
A PQR
32

Análisis y procedimiento

ABC (caso LAL de razón 1/2)

⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝ 2⎠

2

→ APQR=8
Respuesta
El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.

Alternativa C

Pregunta N.º 23

Piden

APQR: área de laregión triangular PQR.

Dato

A ABC: área de la región triangular ABC.
(A ABC=32)

Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan
bases medias en los triángulos BEC y DBC.

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
diferentes que se intersectan, entonces dichos
planos también seintersectan.
II. El lugar geométrico que determinan los pies de
los segmentos oblicuos de longitudes iguales
trazadas desde un punto exterior a un plano
es una circunferencia.

17

Matemática
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es
ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas
contenidas en dicho plano.
A)
B)
C)
D)
E)

II.

VVF
VFV
FFV
VVV
FFF

Solución
Tema...