sol3evalcal3 205
Páginas: 3 (587 palabras)
Publicado: 21 de junio de 2015
Tercera Prueba de Cálculo III MA 389
1 de Diciembre de 2005
Rut:
Nombre:
1. Considere la integral doble:
Z
0
1 Z 2−x
x2
(x − y) dydx
i Dibuje la región de integración
ii Cambie el orden deintegración dxdy y evalúe.
Solución:
ª
©
i. La región R = (x, y) ∈ R2 Á0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2 − x tiene la siguiente gráfica:
ii. Cambiando el orden de integración, la región R queda dividida en dospartes:
©
ª
√ ª ©
R = (x, y) ∈ R2 Á0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y ∪ (x, y) ∈ R2 Á1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y
La integral es
Z 1Z
0
2−x
x2
(x − y) dydx =
Evaluando
Z 1 Z 2−x
Z
(x − y) dydx =
0
x2
Z
0
1Z
0
√y
(x − y) dxdy +
Z
1
2 Z 2−y
0
(x − y) dxdy
¯2−x
¶
Z 1µ
y 2 ¯¯
x4
1
2
3
xy − ¯
dx =
x (2 − x) − (2 − x) − x +
dx
2 x2
2
2
0
0
¯1
¶
Z 1µ
¯
x4 1
x3 x4 x5 1
2
3¯
2
3
2
− (2 − x) dx = x −
−
+
+ (2 −x) ¯
2x − x − x +
=
2
2
3
4
10 6
0
0
1
1 4
19 23
13
1 1
+ − =
−
=−
= 1− − +
3 4 10 6 3
15 12
20
1
2. Considere el sólido W que está al exterior del cono de ecuación z 2 = x2 + y 2 y al interior
dela esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
i. Calcule el volumen de W usando coordenadas cilíndricas.
ii. Calcule el volumen de W usando coordenadas esféricas.
Solución:
i. Usando coordenadas cilíndricas,
el conoes: z 2 = r2 o |z| = |r|√o z = r y la esfera:
√
2
2
2
r + z = 1 o z = 1 − r , el hemisferio superior y z = − 1 −√r2 el hemisferio
inferior. La intersección es: 2r2 = 1 ⇒ r = √12 , el círculo de radio22 . Como existe
simetría en torno al plano XY del sólido, entonces
∂ (x, y, z)
∂ (r, θ, z)
2
Z
0
√
2
2
= r
4
V =
π − (2
3
Z √2 Z
Z 2π Z √1−r2
2
rdzdθdr = 2
r
0
0
= 2
Z
√
2
2
0
V
√
2
2Z
0
2π
0
2π
0
Z
Z
2π
√
√
1−r2
Z
rdzdθdr)
r
2
r z|r 1−r dθdr
Z
³ p
´
r 1 − r2 − r2 dθdr = 2
√
0
0
V
³ p
´ ¯2π
¯
r 1 − r2 − r2 θ¯ dr
0
√
¯ 2
Z 2³ p
´
¢ 32 r3 ¯ 2
¡
2
2
1
2
2
r 1 −r2 − r dr = 4π −
− ¯¯
= 4π
1−r
23
3 0
0
Ã
√ !
µ
¶
2− 2
1 1
1 1
1
√ +
= 4π − √ −
= 2π
32 2 32 2 3
3
Ã
√ !
√
2− 2
4
2 2
π − 2π
π
=
=
3
3
3
√
ii. Usando coordenadas esféricas, el cono es φ = π4 en la...
1 de Diciembre de 2005
Rut:
Nombre:
1. Considere la integral doble:
Z
0
1 Z 2−x
x2
(x − y) dydx
i Dibuje la región de integración
ii Cambie el orden deintegración dxdy y evalúe.
Solución:
ª
©
i. La región R = (x, y) ∈ R2 Á0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2 − x tiene la siguiente gráfica:
ii. Cambiando el orden de integración, la región R queda dividida en dospartes:
©
ª
√ ª ©
R = (x, y) ∈ R2 Á0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y ∪ (x, y) ∈ R2 Á1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y
La integral es
Z 1Z
0
2−x
x2
(x − y) dydx =
Evaluando
Z 1 Z 2−x
Z
(x − y) dydx =
0
x2
Z
0
1Z
0
√y
(x − y) dxdy +
Z
1
2 Z 2−y
0
(x − y) dxdy
¯2−x
¶
Z 1µ
y 2 ¯¯
x4
1
2
3
xy − ¯
dx =
x (2 − x) − (2 − x) − x +
dx
2 x2
2
2
0
0
¯1
¶
Z 1µ
¯
x4 1
x3 x4 x5 1
2
3¯
2
3
2
− (2 − x) dx = x −
−
+
+ (2 −x) ¯
2x − x − x +
=
2
2
3
4
10 6
0
0
1
1 4
19 23
13
1 1
+ − =
−
=−
= 1− − +
3 4 10 6 3
15 12
20
1
2. Considere el sólido W que está al exterior del cono de ecuación z 2 = x2 + y 2 y al interior
dela esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
i. Calcule el volumen de W usando coordenadas cilíndricas.
ii. Calcule el volumen de W usando coordenadas esféricas.
Solución:
i. Usando coordenadas cilíndricas,
el conoes: z 2 = r2 o |z| = |r|√o z = r y la esfera:
√
2
2
2
r + z = 1 o z = 1 − r , el hemisferio superior y z = − 1 −√r2 el hemisferio
inferior. La intersección es: 2r2 = 1 ⇒ r = √12 , el círculo de radio22 . Como existe
simetría en torno al plano XY del sólido, entonces
∂ (x, y, z)
∂ (r, θ, z)
2
Z
0
√
2
2
= r
4
V =
π − (2
3
Z √2 Z
Z 2π Z √1−r2
2
rdzdθdr = 2
r
0
0
= 2
Z
√
2
2
0
V
√
2
2Z
0
2π
0
2π
0
Z
Z
2π
√
√
1−r2
Z
rdzdθdr)
r
2
r z|r 1−r dθdr
Z
³ p
´
r 1 − r2 − r2 dθdr = 2
√
0
0
V
³ p
´ ¯2π
¯
r 1 − r2 − r2 θ¯ dr
0
√
¯ 2
Z 2³ p
´
¢ 32 r3 ¯ 2
¡
2
2
1
2
2
r 1 −r2 − r dr = 4π −
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3 0
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1 1
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= 4π − √ −
= 2π
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4
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π − 2π
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3
3
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√
ii. Usando coordenadas esféricas, el cono es φ = π4 en la...
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