Solemen 1 Inferencias

CII2751- SOLEMNE No 1.
26 de abril de 2012

1. Un fabricante de p´
olvora desarroll´
o una nueva f´
ormula, que se prob´
o en 8 granadas.
Las velocidades iniciales resultantes, en pies por segundo, fueron las siguientes:
3005

2925

2935

2965

2995

3005

2937

2905

a) Hallar un intervalo de confianza para la media poblacional de las velocidades
para granadas de estetipo, con un nivel de confianza de 99 %. Suponga que las
velocidades iniciales tienen distribuci´
on normal.
Se trata de una muestra peque˜
na n = 8, donde se sabe que los datos distribuyen normales.
Corresponde empleaar la distribuci´on t de Student.
s
IC(1−α)100 % = x¯ ± t α2 (n−1) √
n
x¯ = 2959
s = 39,09
t0,005(7) = 3,499
39,09
IC99 % = 2959 ± 3,499 √
8
IC99 % = (2910,64; 3007,36)b) Interprete dicho intervalo en relaci´
on al ejemplo.
El intervalo (2910,64; 3007,36) contiene a la media poblacional (verdadera) de velocidades
iniciales de granadas con un 99 % de confianza. Esto quiere decir que si se repitiera el
experimento 100 veces, se esperar´ıa que la media poblacional est´e contenida en 99 de los
intervalos, y no est´e en uno.
2. Suponga que el peso de lascajas de cierta clase de cereal tiene una distribuci´
on con
desviaci´
on est´
andar poblacional de 8.22 gramos y media desconocida. Se toma una
muestra aleatoria de 50 cajas y se obtiene una media de 278.39 gramos.

a) Calcule un intervalo de 95 % de confianza para la media poblacional.
En este caso tenemos una muestra suficientemente grande (n = 50) como para emplear la
aproximaci´onnormal (TCL). el intervalo a emplear toma la forma:
σ
IC(1−α)100 % = x¯ ± z α2 √
n
x¯ = 278,39
σ = 8,22
z0,025 = 1,96
8,22
IC95 % = 278,39 ± 1,96 √
50
IC95 % = (276,11; 280,67)
b) Suponga ahora que el valor s = 8,22 corresponde a la desviaci´
on est´
andar emp´ırica ¿C´
omo cambia el intervalo de confianza?
Como la muestra es mayor que 40, la aproximaci´on normal sigue siendo correcta.Esto se
debe a que s es un estimador consistente para σ. El intervalo de confianza no cambia para
este caso.
3. Los tiempos de espera para los clientes que pasan por una caja registradora a la
salida de una tienda son variables aleatorias con una media de 1.5 minutos y una
varianza de 1.0. Utilice la Ley de los Grandes N´
umeros para determinar la probabilidad que se pueda atender a 100clientes en menos de 2 horas.
Ayuda: Recordar que la Ley de los grandes N´
umeros indica que si X1 , .....Xn es una
muestra aleatoria proveniente de cualquier distribuci´
on:
n
aprox.

Xi ∼ N (nµ, nσ 2 )
i=1

Si definimos Xi ≡ tiempo de espera en una caja registradora para atender a la persona i.
µ = 1,5
σ2 = 1
n = 100
Se tiene que ni=1 Xi ≡ tiempo de espera en una caja registradora paraatender a 100 personas.
El enunciado pide obtener:
n

Xi ≤ 120)

P(
i=1

Por el TCL:

n
aprox

Xi ∼ N (nµ, nσ 2 )
i=1

n
aprox

Xi ∼ N (150, 100)
i=1

Luego,
n

Xi ≤ 120) = P (

P(
i=1

n
i=1

Xi − nµ
120 − nµ
120 − 150
√
) = P (Z ≤ −3) = 0,0013
≤ √
) = P (Z ≤ √
100
nσ 2
nσ 2

4. Suponga que X tiene una distribuci´
on Weibull(α, 2)
2

f (x; α, 2)= 2αxe−αx , x > 0, α > 0
1

E(X) = α− 2 Γ( 23 ) y
V (X) = α−1 [1 − Γ2 ( 32 )]
a) Encuentre la funci´
on de log-verosimilitud para una muestra de n observaciones.
n

n
−αx2i

L(α) =

2αxi e

n

=2 α (

i=1

n
i=1

xi )e−α

n

x2i

i=1
n

n

x2i

xi ) − α

l(α) = nln(2) + nln(α) + ln(
i=1

i=1

b) Obtenga el estimador EMV para α.
l (α) =

n

n
−
αx2i
i=1

Igualado a cero la derivada se tiene:
n
−
α∗

n

x2i = 0
i=1

α∗ =
l (α) = −

n
n
i=1

x2i

n
< 0, α∗ es un m´aximo.
2
α
α
ˆM V =

n
n
i=1

x2i

c) Determine si α
ˆ M V , el EMV obtenido en la parte a, es suficiente.
Si se toma:
n
f1 (x1 , ...xn ) = 2n

xi , depende s´olo de los datos
i=1

n

n

x2i , α)

f2 (

n
i=1

n −α

=α...