Solucion_Taller_VII

Soluci´
on Taller 7
Por Juan David Dur´an Vanegas
04 de junio de 2014
1. (2.5 puntos) Tres firmas producen un bien homog´eneo. La curva inversa de demanda agregada es
p = a − q1 − q2 − q3 , donde qies la cantidad producida por la firma i. Los costos de producci´on de la
firma i son c (qi ) = cqi , para i = 1, 2, 3. Suponga que a > c > 0. Las firmas eligen las cantidades a producir de lasiguiente manera: primero las firmas 1 y 2 eligen simult´aneamente sus niveles de producci´
on
q1 > 0 y q2 > 0, respectivamente; luego, la firma 3 observa las cantidades producidas por las firmas 1
y 2 yelige q3 > 0. Encuentre los equilibrios perfectos en subjuegos de este juego.
Para encontrar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos emplearemos el algoritmo de inducci´
on
hacia atr´
as. Elproblema que enfrenta la firma 3 en la segunda etapa es
m´
ax
q3 >0

[a − (q1 + q2 + q3 ) − c] q3

La condici´
on de primer orden del problema es a − q1 − q2 − 2q3 − c = 0 y por lo tanto,
q3

a − q1 − q2 −c
2

=

Dado que las firmas 1 y 2 conocen la cantidad fijada por la firma 3, sus problemas de maximizaci´
on son
a − q1 − q2 − c
q1 >0
2
a − q1 − q2 − c
m´
ax a − q1 + q2 +
q2 >0
2
m´
ax a − q1 + q2+

Las condiciones de primer orden son

a−c−q1 −2q2
2

=0y

− c q1
− c q2

a−c−q2 −2q1
2

= 0 por lo que en equilibrio q1∗ y q2∗

deben satisfacer
q1∗

=

q2∗

=

a − c − q2∗
2
a − c − q1∗
2Solucionando este sistema de ecuaciones obtenemos q1∗ = q2∗ =

a−c
3 .

Por consiguiente, el equilibrio

a−c a−c
de Nash perfecto en subjuegos es (q1∗ , q2∗ , q3∗ ) = a−c
. La producci´on agregada y el precio3 , 3 , 6
2
5(a−c)
a+5c
de equilibrio son Q = 6
y p = 6 . El beneficio agregado de las firmas 1 y 2 es entonces (a−c)
18
2
mientras el beneficio de la firma 3 es (a−c)
ı, tanto la firma l´ıder como laseguidora obtienen menores
36 . As´

beneficios en comparaci´
on al modelo con una firma l´ıder y otra seguidora.
2. (2.5 puntos) Considere nuevamente el modelo de Hotelling, pero suponga ahora que...