Soluciones Edo

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Núcleo “Armando Mendoza” Cagua
Ingeniería de Procesos Industriales
Curso de Soluciones Numéricas

Solución de Ecuaciones Diferenciales

Prof (a): Jenny Bengochea. Autores:
VivianaBermudez
Elias Issa
Reinaldo Labrador
Pedro Riobueno



Cagua, 26 de Febrero del Año 2013
INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales aparecen se aplican normalmente al modelar situaciones, problemas, estudios en las ciencias naturales, ingeniería, y otras aéreas, donde están envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variablesindependientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos donde hay sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugara ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones van acompañadas de una condición que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener enforma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. El propósito de este trabajo es utilizar las ecuaciones diferenciales en un problema de ingeniería y aplicar los métodos numéricos correspondientes para la solución del mismo.


METODOS
Método de Euler

Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso lavariable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación nos queda que:

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de lapendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Error para el método de Euler

La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.

1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del númerolimite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

Donde

Para entender esta fórmula, se puede analizar el primer paso de la aproximación, con base en lasiguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  donde  es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y seconsidera el valor de esta recta en  el punto   como la aproximación de Euler mejorada.

Métodos de Runge-Kutte
Son e squemas que hacen uso de la evaluación de F en uno o varios puntos auxiliares, elegidos adecuadamente, de forma que el desarrollo en serie que se obtiene se ajuste al desarrollo de Taylor con una aproximación mejor que la del método de Euler. En realidad, el método de Euler...