Sustituciones Trigonométricas

Ejercicios de Sustituciones Trigonométricas.

En un documento de texto, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica para cada caso y dibuja el triángulo asociado.

1.- 1x2x2-9dxPrimero, elaboro el triángulo en el cual me apoyaré.

Por la forma que presenta el radical utilizo...

Sec = hipCat. Ady.= x3 (y al despejar x…)

x=3 Sec

dx=3 Sec Tan d

Además ocuparéla Identidad Trigonométrica…

Tan2θ= Sec2θ-1

Preparo el radical…

x2-9= (3 Sec θ)2-9= 9 Sec2θ-9= 9Sec2θ-1= 9(Tan2θ)=3 Tan θ

Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido previamente…1x2x2-9= dxx2x2-9= 3 Sec θ Tan θ(3 Sec θ)2 3 Tan θ dθ= 3 Sec θ Tan θ9 Sec2 θ 3 Tan θ dθ=…

Reduzco término…

13 Sec θ (3) dθ= 19 Sec θ= 19 dθSec θ= 19 Cos θ dθ=…

Y finalmente Integro…
Sen θ9+CDespués, lo expreso en términos de x…

Como Seno= Cat. Op.hip

x2-9x91=x2-99x+C

2.- 1x225-x2dx

Primero, elaboro el triángulo en el cual me apoyaré.

Por la forma que presenta el radicalutilizo...

Sen = Cat. Op.hip= x5 (y al despejar x…)

x=5 Sen

dx=5 Cos d

Además ocuparé la Identidad Trigonométrica…

Tan2θ= Sec2θ-1

Preparo el radical…

25- x2= 25-5 Sen θ2=25-25 Sen2θ= 25- 1-Sen2θ=…

…= 25(Cos2 θ)=5 Cos θ

Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido previamente…

1x225- x2= dxx225- x2= 5Cos θ(5 Sen θ)2 5 Cos θ dθ= 125 Sen2 θ dθ= 125dθSen2θ=…

Yfinalmente Integro…
-Cot θ25+C

Después, lo expreso en términos de x…

Como Cot= Cat. Ady.Cat. Op.

25-x2x251=25-x225x+C

3.- x3x2+4 dx

Primero, elaboro el triángulo en el cual meapoyaré.

Por la forma que presenta el radical utilizo...

Tan = Cat. Op.Cat. Ady.= x2 (y al despejar x…)

x=2 Tan

dx=2Sec2 d

Además ocuparé la Identidad Trigonométrica…Tan2θ+1= Sec2θ
Preparo el radical…

x2+4= 2 Tan θ2+4= 4 Tan2θ+4= 4Tan2θ+1= 2Sec2θ)=2 Sec θ

Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido...