tabla de derivadas fundamentales

Derivadas logarítmicas
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

 

Derivada de un logaritmo neperiano
La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.



En algunos ejercicios es conveniente utilizar laspropiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.






Ejemplos





Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:






Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:






Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:






Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:





Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:














Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:




PROPIEDADES DE LA DERIVADA
Derivada de la suma
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+ges derivable en x=a
(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:
(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim --------------------- = lim ----------------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)x->a (x-a) (x-a)

• En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
• El teorema se extiende a más de dos funciones.
Ejemplo:
(x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/x

Derivada del producto
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
(f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)


Demostración:
(f.g)(x) - (f.g)(a)f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim --------------------- = lim ------------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
x->a (x-a)

f'(a) g'(a)
(*) g(a) -----^----- -----^-----
-^- (f(x)- f(a)) (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a (x-a) (x-a)
(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).

• (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
• Generalización para tres funciones:
• (f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) +f(x)g(x).h'(x)

Ejemplo:
(x2.sen x)' = 2xsen x + x2cos x



Derivada del cociente
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0
T) f/g es derivable en x=a
(f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g2(a)
Demostración:
(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)
(f/g)'(a) = lim ------------------- = lim ---------------------x->a x - a x->a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)
= lim ----------------------------------------- =
x->a (x - a)g(x)g(a)

f'(a) g'(a)
-----^----- -----^-----
(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f'(a) - f(a)g'(a)
lim x - ax - a = --------------------
x->a ------------------------------------ g2(a)
g(x)g(a)
'--> g(a) (*)
(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).

• (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g2(x).


Ejemplo:
(cos x)x2 - (sen x)2x xcos x...