tabla de derivadas

✞ ☎
Tabla de Derivadas
✝ ✆Función Derivada Función Derivada
y = k y = x
y = x2

y = xn

1
y =
x
1
y =
xn y0 = 0

y0 = 1

y0 = 2x

y0 = nxn−1

1
y0 = −

−n
xn+1 −

−

y = f (x)2

y = f (x)n

1
y =
f (x)
1
y =
f (x)n −

−

y0 = 2 f (x) f 0 (x)

y0 = n f (x)n−1 f 0 (x)

f 0 (x)
y0 = −

n f 0 (x)
f (x)n+1
y = √x

y = √3 x y = √n x y0 = 1
2√x
y0= 1
3√3 x2
y0 = √1
n n xn−1 y = p f (x)

y = p3 f (x)

y = pn f (x) y0 = f 0 (x)
2p f (x)
y0 = f 0 (x)
3p3 f (x)2
y0 = f 0 (x)
n pn f (x)n−1
y = ax

y = ex


y = loga x y = ln x y0 = ax ln a

y0 = ex

1
y0 = x ln a
1
y0 =
x y = a f (x)

y = e f (x)


y = loga f (x)

y = ln f (x) y0 = a f (x) ln a f 0 (x)

y0 = e f (x) f0 (x)

f 0 (x)
y0 =
f (x) ln a
f 0 (x)
y0 =
f (x)
y = sen x y = cos x
y = tg x


y = cotg x y0 = cos x

y0 = − sen x

y0 = 1 + tg2 x = 1
cos2 x
y0 = −1 − cotg2 x = −1 y = sen f (x)

y = cos f (x)


y = tg f (x)


y = cotg f (x) y0 = f 0 (x) cos f (x)

y0 = − f 0 (x) sen f (x)

y0 = (1 + tg2 f (x)) f 0 (x) = f 0 (x)
cos2 f (x)
y0 = (−1 − cotg2 f (x))f 0 (x) = − f (x)
0

y = arc sen x y = arccos x
y = arc tg x 1
y0 = √
1 − x2
y0 = √ −1
1 − x2
1
y0 =
1 + x2
y = arc sen f (x)


y = arccos f (x)


y = arc tg f (x) f 0 (x)
y0 = p
1 − f (x)2
y0 = − f 0 (x)
p1 − f (x)2
f 0 (x)
y0 =
1 + f (x)2
x2

y0 =


y0 = −
f (x)2

































sen2 x
sen2 f (x)✞ ☎
Propiedades de la derivadas
✝ ✆

Supongamos que f (x) y g(x) son funciones derivables y sea k un número real. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Laderivada de un número real por una función es el número por la derivada de la función:

y = k f (x) =⇒ y0 = k f 0 (x)


2. La derivada de una suma o de una diferencia es la suma o la diferencia de las derivadas:

y = f (x) + g(x) =⇒ y0 = f 0 (x) + g0 (x)

y = f (x) − g(x) =⇒ y0 = f 0 (x) − g0 (x)

3. La derivada de un producto es igual a la derivada de la primera función por lasegunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda:

y = f (x)g(x) =⇒ y0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)


4. La derivada de un cociente es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda; todo ello dividido por la segunda función al cuadrado:

y =
f (x)
g(x) =⇒ y0 =
f0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)
g(x)2


Algunos ejemplos de cálculo de derivadas
√ √
• y =
√5
3x =⇒ y0 =
3

3
• y =
3x + 1 =⇒ y0 = p
5 5 (3x + 1)4

2


1 −6


−12
• y =
x6 . Obsérvese que la función se puede escribir así: y = 2 x6 . Entonces: y0 = 2 x7 = x7
5x − 1
5(5x + 1) − (5x − 1)5
25x + 5 − 25x + 510
• y = 5x + 1 =⇒ y0 =
(5x + 1)2 =
(5x + 1)2 = (5x + 1)2

2
0(x − 1)3 − 2 · 3(x − 1)2
−6(x − 1)2
−6
0
• y = (x − 1)3 =⇒ y =
(x −
1)6 =
(x −
1)6 = (x
− 1)4

7 2 5 7 7 7
7 7 √ 5
• y = x3 √x5 =⇒ y0 = 3x2 √x5...