TALLER 2 SOLUCI N

1. Planificador Central
a)
𝑠
𝐿𝑡 = ∑∞
𝑠=0 𝛽 ln(𝐶𝑡+𝑠 ) + ʎ𝑡+𝑠 [𝑦𝑡+𝑠 − (1 + 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠 − 𝑏𝑡+𝑠+1 + (1 + r) 𝑏𝑡+𝑠 ]
𝛽𝑠
𝑐𝑡+𝑠

[𝑐𝑡+𝑠 ] :

- ʎ𝑡+𝑠 (1 + 𝜏𝑡+𝑠 ) = 0

[𝑏𝑡+𝑠 ] : ʎ𝑡+𝑠 (1+r) - ʎ𝑡+𝑠−1 = 0
𝛽𝑠
𝑡+𝑠 (1+𝜏𝑡+𝑠 )

ʎ𝑡+𝑠 = 𝑐

𝛽𝑠
𝛽 𝑠−1
=
𝑐𝑡+𝑠−1 (1+𝜏𝑡+𝑠−1 )
𝑡+𝑠 (1+𝜏𝑡+𝑠 )

(1+r) 𝑐

(1+𝑟)𝛽𝑐 𝑡+𝑠−1 (1+𝜏𝑡+𝑠−1 )
𝑐𝑡+𝑠 (1+𝜏𝑡+𝑠 )

=1

En particular para s=1
(1+𝑟)𝛽𝑐 𝑡 (1+𝜏𝑡 )
𝑐𝑡+1 (1+𝜏𝑡+1 )
1
𝛽𝑐 𝑡 (1+𝜏𝑡 )
𝛽

𝑐𝑡+1(1+𝜏𝑡+1 )
𝑐 𝑡 (1+𝜏𝑡 )
𝑐𝑡+1 (1+𝜏𝑡+1 )

=1

=1
=1 Ecuación de Euler

Si 𝜏𝑡 se mantiene constante el consumo debe mantenerse constante (esto pasa en el largo
plazo). En el corto plazo donde las tasas cambian para mantener la restricción, el consumo
cambia.
b)
Recordando la restricción presupuestal del gobierno
𝑔𝑡 + (1+r) 𝑏𝑡 = 𝜏𝑡 𝑐𝑡 + 𝑏𝑡+1
𝑏𝑡 =

𝜏𝑡 𝑐𝑡 +𝑏𝑡+1 −𝑔𝑡
1+𝑟

(1)

En general 𝑏𝑡+𝑚 =

𝜏𝑡+𝑚 𝑐𝑡+𝑚 +𝑏𝑡+𝑚+1−𝑔𝑡+𝑚
1+𝑟

Con m=1 en (1)
𝑏𝑡 =( 𝜏𝑡 𝑐𝑡 +
𝜏 𝑐

𝑡 𝑡
𝑏𝑡 = 1+𝑟
+

1
1+𝑟

[𝜏𝑡+1 𝑐𝑡+1 + 𝑏𝑡+2 − 𝑔𝑡+1 ] - 𝑔𝑡 )

𝜏𝑡+1 𝑐𝑡+1
(1+𝑟)2

𝑔

𝑔

1
1+𝑟

1

𝑡
𝑡+1
- (1+𝑟
+ (1+𝑟)
2 ) + (1+𝑟)2 𝑏𝑡+2

De este modo se puede ver que
𝜏

𝑐

𝑔

1

𝑡+𝑠 𝑡+𝑠
𝑡+𝑠
∞
𝑏𝑡 =∑∞
𝑠=0 (1+𝑟)𝑠+1 - ∑𝑠=0 (1+𝑟)𝑠+1 +lim𝑠−∞ (1+𝑟)𝑠+1 𝑏𝑡+𝑠

1

Si lim𝑠−∞ (1+𝑟)𝑠+1 𝑏𝑡+𝑠 = 0 (condición de no-ponzi para el gobierno)
𝜏

𝑐

𝑔

𝑡+𝑠 𝑡+𝑠
𝑡+𝑠
𝑏𝑡 =∑∞
𝑠=0 (1+𝑟)𝑠+1 -(1+𝑟)𝑠+1

Dado que partimos de un punto en el cual el presupuesto es balanceado:
𝑔𝑡 = 𝜏𝑡 𝑐𝑡
Además en t hay cero deuda:
𝜏

𝑐

𝑔

𝑡+𝑠 𝑡+𝑠
𝑡+𝑠
0 =∑∞
𝑠=0 (1+𝑟)𝑠+1 - (1+𝑟)𝑠+1

0 =∑∞
𝑠=0

𝜏𝑡+𝑠 𝑐𝑡+𝑠 −𝑔𝑡+𝑠 +𝑐𝑡+𝑠 −𝑐𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

0 =∑∞
𝑠=0

(1+ 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠 −𝑐𝑡+𝑠 −𝑔𝑡+𝑠

0=

(1+𝑟)𝑠+1

(1+ 𝜏𝑡 )𝑐𝑡 −𝑐𝑡 −𝑔𝑡

+ ∑∞
𝑠=1

1+𝑟

(1+ 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠 −𝑐𝑡+𝑠 −𝑔𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

Dado que el presupuesto está balanceado en t, la expresión(1 + 𝜏𝑡 )𝑐𝑡 − 𝑐𝑡 − 𝑔𝑡
𝜏𝑡 𝑐𝑡 − 𝑔𝑡
0
=
=
=0
1+𝑟
1+𝑟
1+𝑟

Entonces, tenemos:
0 = ∑∞
𝑠=1
0= ∑∞
𝑠=1
∑∞
𝑠=1

(1+ 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠 −𝑐𝑡+𝑠 −𝑔𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

(1+ 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

(1+ 𝜏𝑡+𝑠 )𝑐𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

- ∑∞
𝑠=1

= ∑∞
𝑠=1

𝑐𝑡+𝑠 +𝑔𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

𝑐𝑡+𝑠 +𝑔𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

(2)

Ahora reorganizando la Ecuación de Euler se tiene:
𝑐 𝑡 (1+𝜏𝑡 )
𝑐𝑡+1 (1+𝜏𝑡+1 )

=1  𝑐 𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) = 𝑐𝑡+1 (1 + 𝜏𝑡+1)

Para t: 𝑐 𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) =𝑐𝑡+1 (1 + 𝜏𝑡+1 )
Para t+1: 𝑐 𝑡+1(1 + 𝜏𝑡+1) = 𝑐𝑡+2 (1 + 𝜏𝑡+2)
Para t+2: 𝑐 𝑡+2(1 + 𝜏𝑡+2) = 𝑐𝑡+3 (1 + 𝜏𝑡+3)
Para t+3: 𝑐 𝑡+3(1 + 𝜏𝑡+3) = 𝑐𝑡+4 (1 + 𝜏𝑡+4)
Reemplazando iterativamente:
𝑐 𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) = 𝑐𝑡+2 (1 + 𝜏𝑡+2 )
𝑐 𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) = 𝑐𝑡+3 (1 + 𝜏𝑡+3 )
𝑐 𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) = 𝑐𝑡+4 (1 + 𝜏𝑡+4 )

⋮
𝑐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑡 (1 + 𝜏𝑡 ) = 𝑐𝑡+𝑠+1 (1 + 𝜏𝑡+𝑠+1 ) (3)

Reemplazando (3) en (2):
∑∞
𝑠=1

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(1+ 𝜏𝑡 )𝑐𝑡
(1+𝑟)𝑠+1

=∑∞
𝑠=1

(1 + 𝜏̅𝑡 )𝑐̅𝑡 ∑∞
𝑠=1

𝑐𝑡+𝑠 +𝑔𝑡+𝑠
(1+𝑟)𝑠+1

1
∞ 𝑐𝑡+𝑠 +𝑔𝑡+𝑠 (4)
𝑠+1 = ∑𝑠=1
𝑠+1
(1+𝑟)
(1+𝑟)

Trabajando la siguiente sumatoria:
∞

𝑧=∑
𝑠=1

𝑧=
𝑧=

1
(1 + 𝑟) 𝑠+1

1
1
1
+
+
+⋯
2
3
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)4

1
1
1
[1 +
+
+⋯]
2
1
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)2

𝑧(1 + 𝑟)2 = [1 +

1
1
+
+⋯]
1
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)2

Aquí se tiene una serie de Taylor:
𝑧(1 + 𝑟)2 ≈

𝑧(1 + 𝑟)2 ≈

1
1−

1
(1 + 𝑟)

1
1+𝑟−1
(1 + 𝑟)

𝑧(1 +𝑟)2 ≈

1
𝑟
(1 + 𝑟)

𝑧(1 + 𝑟)2 ≈

(1 + 𝑟)
𝑟

𝑧≈

1
(1 + 𝑟) 𝑟

Reemplazando z en (4):
(1 + 𝜏̅𝑡 )𝑐̅𝑡

1
(1 + 𝑟) 𝑟

∞

=∑
𝑠=1
∞

(1 + 𝜏̅𝑡 )𝑐̅𝑡 = (1 + 𝑟) 𝑟 ∑
𝑠=1

𝑐𝑡+𝑠 + 𝑔𝑡+𝑠
(1 + 𝑟)𝑠+1
𝑐𝑡+𝑠 + 𝑔𝑡+𝑠
(1 + 𝑟)𝑠+1

∞

𝑐̅𝑡 + 𝜏̅𝑡 𝑐̅𝑡 = 𝑟 ∑

𝑐𝑡+𝑠 + 𝑔𝑡+𝑠
(1 + 𝑟)𝑠

𝑠=1

Finalmente, dado que en el primer período el presupuesto está balanceado (τ̅t c̅t = g t ):
∞

𝑐̅𝑡 + ̅̅̅
𝑔𝑡 = 𝑟 ∑

𝑐𝑡+𝑠 + 𝑔𝑡+𝑠

𝑠=1

(1 + 𝑟)𝑠

c)Se plantean las restricciones
En t: 𝑔𝑡 + (1+r) 𝑏𝑡 =𝜏𝑡 𝑐𝑡 + 𝑏𝑡+1
Si 𝑏𝑡 = 0 y 𝑔𝑡+𝑠 = 𝜏𝑡+𝑠 𝑐𝑡+𝑠 , reemplazando en la restricción se tiene que la deuda en t+1 debe
ser igual a cero:
𝑔𝑡 + (1+r)∗ 0 =𝑔𝑡 + 𝑏𝑡+1
0 = 𝑏𝑡+1
⋮
En t+s-1: 𝑔𝑡+𝑠−1 + (1+r) 𝑏𝑡+𝑠−1 =𝜏𝑡+𝑠−1 𝑐𝑡+𝑠−1 + 𝑏𝑡+𝑠
Si 𝑏𝑡+𝑠−1 = 0 y 𝑔𝑡+𝑠−1 = 𝜏𝑡+𝑠−1 𝑐𝑡+𝑠−1 , reemplazando en la restricción se tiene que la deuda
en t+s debe ser igual a cero:
𝑔𝑡+𝑠−1 +(1+r)∗ 0 =𝑔𝑡+𝑠−1 + 𝑏𝑡+𝑠
0 = 𝑏𝑡+𝑠
⋮
En t+s: ∆𝑔 + 𝑔𝑡+𝑠 + (1+r) 𝑏𝑡+𝑠 =𝜏𝑡+𝑠−1 𝑐𝑡+𝑠 + 𝑏𝑡+𝑠
Si 𝑏𝑡+𝑠 = 0 y la trayectoria de los impuestos se mantiene constante 𝜏𝑡+𝑠 𝑐𝑡+𝑠 , el gasto que
hace cada período el gobierno debe ser igual a la trayectoria de los impuestos: 𝑔𝑡+𝑠 = 𝜏𝑡+𝑠 𝑐𝑡+𝑠 .
Reemplazando en la restricción y buscando que se cumpla la igualdad entre gastos e...