Tarea 1 Funcional

Tarea 1 An´lisis Funcional

Problema 2. Demostrar la siguiente equivalencia de distancias en Rn :
d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤

√

nd∞ (x, y)

x, y ∈ Rn

para todo

(1)

Deducir que lastopolog´ generadas son equivalentes.
ıas
Soluci´n:
o
Primero veamos que
d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y)
En efecto, sea x, y ∈ Rn , luego
n

(xi − yi )2 ≥ |xi − yi |2

∀i ∈ {1, . . . , n}

i=1

Enparticular

n

(xi − yi )2 ≥ m´x |xi − yi |2
a
i=1,...,n

i=1

De donde,
1/2

n
2

(xi − yi )

1/2

m´x |xi − yi |2
a

≥

i=1,...,n

i=1

= m´x |xi − yi |
a
i=1,...,nPor lo tanto, d2 (x, y) ≥ d∞ (x, y).
Por otro lado,
n

n
2

(xi − yi ) ≤
i=1

n
2

(d∞ (x, y))2

m´x |xi − yi | =
a

i=1

i=1,...,n

i=1
2

= n(d∞ (x, y))

Aplicando ra´ seobtiene lo pedido, es decir, d2 (x, y) ≤
ız

√

nd∞ (x, y).

Finalmente, de lo anterior podemos concluir que se cumple la desigualdad (1).
Falta demostrar que las topolog´ generadas, T2 y T∞son equivalentes. Por lo tanto, debemos
ıas
mostrar que los abiertos de T2 son abiertos de T∞ y viceversa.
i) T2

T∞

En efecto, sea y ∈ B∞ (x, ε), debemos demostrar que ∃ δ1 tal que B2 (y, δ1 )⊂ B∞ (x, ε).
Pero, basta tomar δ1 = ´
ınf{d2 (y, z) : d∞ (z, x) = ε} para que se cumpla lo requerido.
1

Tarea 1 An´lisis Funcional
a

ii) T∞


T2

An´logamente, sea y ∈ B2 (x, ε) tomandoδ2 = ´
a
ınf{d∞ (y, z) : d2 (z, x) = ε}, se cumple que
B∞ (y, δ2 ) ⊂ B2 (x, ε).
Por lo tanto de i) y ii) concluimos que las topolog´ T2 y T∞ son equivalentes.
ıas

2

Tarea 1 An´lisisFuncional
a


Problema 5. Sea X = {a, b, c}, es decir, un conjunto de cuatro elementos. Definir diez topolog´
ıas
diferentes en X y una familia de conjuntos que no sea una topolog´
ıa.
Soluci´n:
oTopolog´
ıas:
T = {∅, X}
T = {∅, X, {a, b}, {c, d}}
T = {∅, X, P(X)}
T = {∅, X, {a}, {b, c, d}}
T = {∅, X, {b, c}, {d, a}}
T = {∅, X, {b}, {a, b, c}}
T = {∅, X, {b}}
T = {∅, X, {a}, {c,...