Tarea 2 Javier Videla

Universidad
 de
 Chile
 
Facultad
 de
 Ciencias
 Físicas
 y
 Matemáticas
 
Departamento
 de
 Ingeniería
 Civil
 Mecánica
 
ME705
 –
 Métodos
 de
 Elemento
 Finito
 Generalizado


 

 
Tarea
 2
 


 


 

 

 

 

 


 


 

Profesor
 :
 Alejandro
 Ortíz
 Bernardin
 
Ayudante:
 Karim
 Pichara
 
Alumno:
 Javier Videla
 M.
 
Fecha:
 12
 de
 junio
 del
 2015
 

 

1. Problema
 1:
 

 

En
  este
  problema
  se
  deberá
  analizar
  la
  convergencia
  de
  la
  solución
 
numérica
  obtenida
  para
  un
  método
  sin
  malla
  Galerkiano.
  Para
  esto,
  se
 
deberá
  implementar
  un
  programa
  utilizando
  el
  método
 sin
  malla
  de
  la
 
máxima
 entropía
 (la
 función
 “maxent.m”
 que
 calcula
 las
 funciones
 max-­‐
ent
  se
  adjunta
  en
  la
  carpeta
  “maxent”
  con
  esta
  tarea)
  y
  se
  resolverá
  con
 
este
 programa
 el
 problema
 de
 la
 viga
 en
 voladizo
 que
 se
 muestra
 en
 la
 Fig.
 
1.
  Las
 mallas
  para
  realizar
  la
  integración
  numérica
  son
  las
  que
  se
 
muestran
 en
 la
 Fig.
 2.
 Estas
 mallas
 están
 definidas
 en
 los
 archivos
 de
 texto
 
que
 se
 encuentran
 en
 la
 carpeta
 “mallas”
 que
 se
 adjunta
 con
 esta
 tarea.
 
 

 
Utilice
  un
  coeficiente
  de
  Poisson
  𝜈 = 0.3   y
  suponga
  estado
  de
 
deformación
 
 plana.
 Las
 condiciones
 de
 contorno
 esenciales
 en
 el
 lado
 fijo
 
de
 la
 viga
 se
 aplicarán
 según
 la
 solución
 de
 Timoshenko
 and
 Goodier:
 
 

 
𝑃𝑦
3𝐷 !
!
𝑢! = −
6𝐿 − 3𝑥 𝑥 + 2 + 𝜈 𝑦 −
(1 + 𝜈)
 
(1)
 
2
6𝐸𝐼
𝑃
𝑢! =
(3𝜈𝑦 ! 𝐿 − 𝑥 + 3𝐿 − 𝑥 𝑥 ! )
 
(2)
 
6𝐸𝐼

 

 

 !
!
Donde
 𝐸 = !!! !  
 con
 𝐸 = 10!  𝑝𝑠𝑖,
 
 𝜈 = !!!
 
 con
 𝜈 = 0.3  ,
 𝐿 = 8  𝑖𝑛  es
 el
 
largo
 de
 la
 viga,
 
 𝐷 = 4  𝑖𝑛
 es
 el
 alto
 de
 la
 viga,
 𝐼
 es
 el
 segundo
 momento
 de
 
área
 de
 la
 viga
 (el
 espesor
 es
 unitario),
 y
 la
 carga
 es
 𝑃 = −1000  𝑙𝑏𝑓.
 Las
 
correspondientes deformaciones
 exactas
 son:
 
 

 
𝑃 𝐿−𝑥 𝑦
𝜖! = −

 
(3)
 
𝐸𝐼

 
𝜈𝑃 𝐿 − 𝑥 𝑦
𝜖! =

 
(4)
 
𝐸𝐼

 
𝐷!
𝑃 4 − 𝑦!
(5)
 
𝜖!" =

 
4𝐼𝜇

 

donde
 𝜇   =

!
! !  !  !


 es
 el
 módulo
 de
 corte.
 Los
 esfuerzos
 exactos
 son:
 
 
𝜎𝑥   = −


 

𝑃 𝐿−𝑥 𝑦

 
𝐼

𝜎! = 0
 

𝜎𝑥𝑦   =

𝑃

𝐷!
− 𝑦!
4

 
2𝐼

(6)
 
(7)
 

(8)
 


 
La
 carga
 parabólica en
 el
 lado
 de
 la
 tracción
 tangencial
 se
 impone
 
utilizando
 (8).
 
 

Fig.
 1:
 Geometría
 y
 condiciones
 de
 borde
 para
 el
 problema
 de
 la
 viga
 en
 
voladizo.
 
 

Fig.
 2:
 Secuencia
 de
 mallas
 para
 utilizar
 en
 el
 estudio
 de
 convergencia
 del
 

problema
 de
 la
 viga
 en voladizo.
 
 
Las
 normas
 relativas
 antes
 mencionadas
 son
 las
 siguientes:
 
 
𝑢 − 𝑢!
𝑢 !!

!!

=


 
𝑢 − 𝑢! ! !
=
𝑢 !!

!"#$%
!!!
!!

𝑢 − 𝑢! ∙ 𝑢 − 𝑢! 𝑑Ω

!"#$%
𝑢
!!!
!!

!"#$%
!!!
!!

∙ 𝑢𝑑Ω

∙ 𝜎𝑑Ω


 

!/!

𝜖 − 𝜖! ∙ 𝜎 − 𝜎! 𝑑Ω

!"#$%
𝜖
!!!
!!

!
!

!/!

!
!


 

(9)
 

(10)
 


 
donde
 𝑢  es
  la
  solución
 
  exacta
  del
  desplazamiento,  𝑢ℎ es
  la
  solución
 
 
numérica
  del
  desplazamiento,
 𝜀  es
  el
  vector
  de
  deformaciones
  exacto,
 
𝜀ℎ  es
  el
  vector
  de
  deformaciones
  numérico,
 𝜎
 es
  el
  vector
  de
  esfuerzos
 
exacto,
  y
  𝜎ℎ   es
  el
  vector
  de
  esfuerzos
  numérico.
  Para
  resolver
  las
 
integrales
 en
 las...