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Regresión lineal
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
[pic]
[pic]: Variable dependiente, explicada o regresando.
[pic]: Variables explicativas, independientes o regresores.
[pic]: Parámetros, miden lainfluencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
Donde [pic]es la intersección o término "constante", las [pic]son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y [pic]es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
El término regresión se utilizó por primera vez enel estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.[2] La constatación empírica de esta propiedad se vioreforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
Pero bien,como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.
El modelo de regresión lineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas [pic](k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros [pic]desconocidos:
(2) [pic]
Donde [pic]es la perturbación aleatoria querecoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:
(3) [pic]
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos[pic], de modo que laecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4) [pic]
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, [pic], son los coeficientes deregresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5) [pic]
Los valores [pic]son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.










5.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Tiene como objetivo el estudiar cómo los cambios en una variable, no aleatoria, afectan a una variable aleatoria, en el caso de existiruna relación funcional entre ambas variables que puede ser establecida por una expresión lineal, es decir,  su representación gráfica es una línea recta. 
 Cuando la relación lineal concierne al valor medio o esperado de la variable aleatoria, estamos ante un modelo de regresión lineal simple. La respuesta aleatoria al valor x de la variable controlada se designa por Yx y, según lo establecido, setendrá:
 
[pic]
 
De manera equivalente, otra  formulación del modelo de regresión lineal simple sería:  sixi es un valor de la variable predictora e Yila variable respuesta que le corresponde, entonces 
[pic]
Ei es el error o desviación aleatoria de Yi
Estimación de los parámetros de la recta de regresión. El primer problema a abordar es obtener los estimadores de los parámetros de la...