Tecnicas de prueba

INTRODUCCIÓN


La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática. En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica, un cálculo definido por sus símbolos y reglas de inferencias, lo que ha permitido suaplicación a la informática. Hasta el siglo XIX, la lógica aristotélica y estoica mantuvieron siempre una relación con los argumentos formulados en el lenguaje natural. Por eso aunque eran formales, no eras formalistas. Hoy esa relación se trata bajo un punto de vista completamente diferente. La formalización estricta ha mostrado las limitaciones de la lógica tradicional o aristotélica, que hoyse interpreta como una parte pequeña de la lógica de clases.

La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de unaciencia empírica.































DEMOSTRACIÓN POR EL MÉTODO DIRECTO

Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:

P⇒Q

Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple Q”, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis más intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata. Si decimos: 
“El cielo está nublado, va a llover”

Estamos realizando una asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta nublado” es la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”. Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable. Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que secumplirá la consecuencia Q. A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entonces su consecuencia tampoco se verificará.
¬P⇒¬Q

Supóngase que P⇒Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q sedesprende lógicamente de p.

Supóngase una implicación de la forma.
(P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧... ∧ Pn) ⇒ Q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de P1,P2,......,Pn. Se escribe. El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el métododirecto. Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera. La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica:
(P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧... ∧ Pn) ⇒ Q

Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión. “Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es unatautología. Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son verdaderas. En conclusión podemos decir que: Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:
a. Comenzar con las hipótesis. 
b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias para...
c. Llegar a laconclusión. 

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia. Sean

p: Trabajo.
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s:Podré guardar el automóvil en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por...