Tecnicas y analisis de sistemas electromecanicos

Grado en Ingenier´ıa El´
ectrica y Electr´
onica.
T´
ecnicas de An´
alisis de Sistemas Eletromec´
anicos. Oto˜
no 2014
Tema 1. Ecuaciones diferenciales

Soluciones

⇤
⇥1.1. Encuentra los puntos del plano complejo C que satisfacen:

(a) |2z + 3| < 1,

(b) |z + i| = |z

(c) ez =

(d) z + z = |z|2 ,

1,

i|,

(f) |z| = z 2 + 6.

(e) |z| = |2z + 1|,

Soluci´
on.
⇢
31
(a) z 2 C | z +
<
son los puntos en el interior de un c´ırculo en el plano complejo con centro
2
2
3
1
en z0 = 32 (punto
2 , 0 ) y radio 2 .
(b) Son los puntos que equidistan del

i y del i: los n´
umeros reales.

(c) {(2k + 1) ⇡i | k 2 Z}
n
o
(d) a + bi | (a 1)2 + b2 = 1 , una circunferencia con centro en z0 = 1 (punto (1, 0)) y radio igual
a 1.
n
o
2
(e) a + bi | a + 32+ b2 = 19 , una circunferencia con centro en z0 = 23 (punto (1, 0)) y radio
igual a 13 .

(f) {2i, 2i} en forma rectangular, o bien

n

⇡

2ei 2 , 2e

i ⇡2

o

en forma polar.

⇤
entalas en el plano complejo:
⇥1.2. Calcula las siguientes ra´ıces complejas y repres´

(a) ra´ıces c´
ubicas de 1,
(b) ra´ıces cuartas de

p
2 + i2 3,

(c) ra´ıces cuadradas de i,
(d)ra´ıces cuadradas de

3 + 4i.

Soluci´
on.
2⇡

4⇡

(a) ei0 = 1, ei 3 , ei 3 .
p ⇡ p 2⇡ p 7⇡ p 5⇡
(b) 2ei 6 , 2ei 3 , 2ei 6 , 2ei 3 .
⇡

(c) ei 4 , ei
(d) 1 + 2i,

Soluciones

5⇡
4

.
1

2i.

1

Grado en Ingenier´ıa El´
ectrica y Electr´
onica.
T´
ecnicas de An´
alisis de Sistemas Eletromec´
anicos. Oto˜
no 2014
Tema 1. Ecuaciones diferenciales

⇤
on seno en elconjunto de los n´
umeros complejos se define por
⇥1.3. La funci´

sen z =

eiz

e
2i

iz

, z 2 C.

(a) Halla sen(i ln 2) y escr´ıbelo en forma polar.
(b) Halla todos los n´
umeros z 2 C para los que sen z 2 R.
Soluci´
on.
sen(iln 2) =

e

ln 2

eln 2

2i

eln 2

=

1

eln 2

2i

=

2

1

2i

2

3
3 ⇡
= i = ei 2 .
4
4

⇤
1
⇥1.4. Halla Re1+ei✓ para cada ✓ 2 R.

Soluci´
on.
La expresi´on

1
s´
olo tiene sentido para lo valores de ✓ para los que el denominador no se anula,
1 + ei✓
es decir, para ✓ 6= (2k + 1) ⇡, con k 2 Z. En esos casos

1
1
Re
= .
2
1 + ei✓
⇤
on de las siguientes ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial:
⇥1.5. Calcula la soluci´

(a) 2xy 0 + y = 2x, y(1) = 0.
(b) sen y + y 0 x cos y2yy 0 =

ex .

(c) y 0 + 22y = 33, y(1) = 2.
(d) y 0 + y = xe

x

+ 1.

(e) y 3 ey + 3xy 2 ey + xy 3 ey + 3y 2 y 0 =

3x2 .

(f) 2xy + (x2 + 1)y 0 = 0.
(g) y 0 + y = sen x, y(0) = 0.
(h) x0

2x = t2 e2t .

(i) y 0 + 2xy = x, y(0) =

3.

Soluci´
on.
(a) y(x) = 2(x
(b) x sen(y) + ex
2

x

1/2 )/3.

y 2 = C.
Soluciones

Grado en Ingenier´ıa El´
ectrica yElectr´
onica.
T´
ecnicas de An´
alisis de Sistemas Eletromec´
anicos. Oto˜
no 2014
Tema 1. Ecuaciones diferenciales

22(x 1) .

(c) 2y(x) = 3 + e
(d) y(x) = (C +

x2
x
2 )e

+ 1.

(e) x3 + y 3 (1 + xey ) = C.
C
.
x2 + 1

(f) y(x) =

sen x

(g) y(x) =
(h) x(t) =

cos x + e
2

x

.

t3 e2t + Ce2t
.
3

(i) y(x) = (1

x2 )/2.

7e

En todos los casos, C 2 Res una constante arbitraria.
⇤
on general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Si se dan condiciones iniciales,
⇥1.6. Halla la soluci´

resuelve el problema de valor inicial.

(a) cos(x + y) + 3y 2 + 2y + cos(x + y) y 0 = 0
(b) ex+y + yey + (xey

1) y 0 = 0, y(0) =

1

xyy 0 = 0, y(2) = 1

(c) x4 + y 2

(d) cos !x + ! sen !x + ex y 0 = 0, y(0) = 1 (! = cte.)
(e) (1 + 2x)cos y +

y0
=0
cos y

Soluci´
on.
(a) cos(x + y) + y 3 + y 2 = C.
(b) ex + xy + e

e

= 1 + e.

15 2
x .
4

(c) y 2 = x4
(d) y =

y

x

(e) tan(y) =

cos(!x).
x

x2 + C.

⇤
on del principio de Bernoulli de din´
amica de fluidos, establece
⇥1.7. La ley de Torricelli, una aplicaci´

que la velocidad de un flujo de fluido que sale por una abertura en un...