Tema_04 Propagacion_de_Errores

TEMA 4
Propagaci´
on de Errores

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronom´ıa
Universidad de Guanajuato
DA-UG (M´
exico)
papaqui@astro.ugto.mx

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA 4:

Propagaci´
on de Errores

J.P. Torres-Papaqui

Laboratorio de Mec´
anica

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Propagaci´on de Errores

Medidas indirectas.- Magnitudes que secalculan a partir de los valores
encontrados en las medidas de otras magnitudes.
Conocemos x ± δx , y ± δy ,...
Calculamos z = f (x, y , ...)
¿Cu´al es el error de z?

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Propagaci´on de Errores

Propagaci´
on de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar un
error a z, conocidas las incertidumbres de x e y,...
Permiten asignar un error al resultado final.
Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
Planificaci´on del experimento.

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Propagaci´on de Errores

Hip´
otesis de partida
Medidas dependientes.- Hip´
otesis pesimista. Siempre en la
situaci´on m´as desfavorable. Conjunto de reglaspr´acticas.
Medidas independientes.- Errores cuadr´aticos medios. F´ormula
general de propagaci´on de errores.

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Propagaci´on de Errores

Propagaci´
on de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales: x ± δx
y ± δy
Sea su suma q = x + y y su diferencia q = x - y
¿Cu´al es la incertidumbre, δq?
El errorabsoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes es
la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:
q = x ± y ⇒ δq ≈ δx + δy

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Propagaci´on de Errores
Ejemplo:
En un experimento se introducen dos l´ıquidos en un matraz y se quiere
hallar la masa total del l´ıquido. Se conocen:
M1 = Masa delmatraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
m2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de l´ıquido ser´a:
M = (M1 − m1 ) + (M2 − m2 ) = 1311 g
Su error:
δM = δM1 + δm1 + δM2 + δm2 = 32 g
El resultado se expresar´a:
M = 1311 ± 32 g
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6 / 15Propagaci´on de Errores
Propagaci´
on de errores en productos
Datos iniciales: x ± δx = x 1 ±

δx
|x|

y ± δy = y 1 ±

δy
|y |

Sea su producto q = x y
¿Cu´al es la incertidumbre, δq?
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:
q = xy ⇒

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δq
δx
δy
≈
+
|q|
|x| |y |

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Propagaci´on deErrores
Propagaci´
on de errores en cocientes
Datos iniciales: x ± δx = x(1 ±
Sea su producto q =

δx
|x| )

y ± δy = y (1 ±

δy
|y | )

x
y

¿Cu´al es la incertidumbre, δq?
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
q=

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x
δq
δx
δy
⇒
≈
+
y
|q|
|x| |y |

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Propagaci´on de Errores
Ejemplo:Para medir la altura de un ´arbol L, se mide la longitud de su
sombra L1 , la altura de un objeto de referencia L2 , y la longitud de su
sombra L3 . Por semejanza:
L2
L = L1
L3
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm
Por tanto
L = 200 ·

100
= 2000 cm
10

Su error ser´a
δL
δL1
δL2
δL3
2
0.4
0.2
≈
+
+
=
+
+
|L|
|L1 | |L2 | |L3 |
200 100 10.3
3.4
= (1+ 0.4 + 2) % = 3.4 % → δL =
· 2000 = 68
100
L = 2000 ± 68 cm
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Propagaci´on de Errores
Comparando este m´
etodo con el binomio: Para ejemplificar la eficacia
de este m´etodo con el m´etodo estrictamente te´
orico, calcularemos el
angulo y su respectivo error en el sin(θ ± ∆θ). Del binomio tenemos
sin(θ ±...