Tema 2 MII Matrices

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Tema 2: Matrices
2.0. Introducción
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el
ordenamiento de datos, así como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en
el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés
William Hamilton.
Las matrices seencuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos
regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales,
Económicas y Biológicas.

2.1. Matrices. Definición y primeros ejemplos
Se llama matriz real de dimensión mxn, o de orden mxn al conjunto de m·n números
reales ordenados en m filas (horizontales) y n columnas (verticales). La forma más general derepresentar una matriz mxn es:
⎛ a11 a12 .... a1n ⎞
⎟
⎜
⎜ a21 a22 .... a2n ⎟
Amxn = ⎜
.... .... .... .... ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜a
⎝ m1 am 2 .... amn ⎠
Donde puede verse que cada número real ocupa una posición determinada por los dos
subíndices (ij). El primer subíndice (i) indica el número de la fila, y el segundo (j) el de la
columna. Así, el término a12 es el que está en la 1ª fila y en la 2ª columna.
Las matricesse suelen representar por letras mayúsculas A, B….. ó Amxn si queremos
indicar su dimensión.

Ejemplos:
⎛2 0 5 ⎞
⎟⎟ Es una matriz de 2 filas y 3 columnas.
A2x3 = ⎜⎜
⎝ 6 3 − 1⎠
C1x 4 = (− 1 0 1 0) Es una matriz de 1 fila y 4 columnas.

•

Dos matrices son iguales cuando coinciden término a término.
⎛1 2⎞
⎛1 2⎞
⎟⎟ Î A=B
⎟⎟; B = ⎜⎜
A = ⎜⎜
⎝2 1⎠
⎝2 1⎠

2.2.- Tipos de matrices:
Entre las matricesexisten algunas que reciben nombres especiales y a las cuales nos
referiremos con frecuencia, las más importantes son:
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Se llama matriz fila, a una matriz con una sola fila.

Matemáticas

© Raúl G.M. 2007

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Así pues, una matriz fila de orden m es una matriz con 1 fila y m columnas:
A1xm = (a11 a12 .... a1m )

Ejemplo: A1x3 = (1 0 − 3)
9

Se llama matriz columna, auna matriz de una sola columna.

⎛ a11 ⎞
⎜ ⎟
⎜a ⎟
Así pues, una matriz columna de orden n es una matriz con n filas y 1 columna: Anx1 = ⎜ 21 ⎟
....
⎜ ⎟
⎜a ⎟
⎝ n1 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
Ejemplo: A3x1 = ⎜ − 4 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠

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Se llama matriz opuesta de A, y se simboliza por –A, a la matriz en la que todos los
elementos tienen el signo opuesto.
⎛ 1

Ejemplo: A = ⎜⎜
⎝−3
9

⎛ −1 2 ⎞
⎟⎟
− A = ⎜⎜
⎝ 3 − 4⎠

Se llamamatriz nula, a la que tiene todos los elementos cero.

Ejemplo:
9

− 2⎞
⎟
4 ⎟⎠

⎛ 0 0⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠

Se llama matriz cuadrada, a una matriz que tiene igual número de filas que de
columnas.

Ejemplo: A3 x3

3⎞
⎛1 2
⎜
⎟
= A3 = ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜3 −1 0 ⎟
⎝
⎠

•

Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada, a la formada por los elementos aij
con i=j. En el ejemplo anterior la diagonal está formadapor los elementos a11=1, a22=1,
a33=0.

•

A la otra diagonal, se le llama diagonal secundaria.

9

Se llama matriz diagonal, a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos
excepto los de la diagonal principal.
⎛1
⎜
⎜0
Ejemplo: A = ⎜
0
⎜
⎜0
⎝

Matemáticas

0 0 0⎞
⎟
2 0 0⎟
0 3 0⎟
⎟
0 0 2 ⎟⎠

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Se llama matriz escalar, a aquella matrizdiagonal en la que todos los elementos de la
diagonal principal son iguales.
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
Ejemplo: A = ⎜ 0 2 0 ⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠

9

Se llama matriz identidad de orden n, y se denota por In, a la matriz escalar del
mismo orden cuyos elementos de la diagonal principal son todos la unidad.
⎛ 1 0 .... 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 .... 0 ⎟
In = ⎜
.... .... .... .... ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 .... 1 ⎟
⎝
⎠

Ejemplos:

⎛1 0⎞
⎟⎟ Matrizidentidad de orden 2
I 2 = ⎜⎜
⎝0 1⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
I 3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ Matriz identidad de orden 3
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠

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Se llama matriz triangular, a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos
situados por encima de la diagonal principal (triangular superior) o por debajo de ella
(triangular inferior).
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟

Ejemplos: A = ⎜ 1 2 0 ⎟ Triangular superior,
⎜ 1 2 3⎟
⎝
⎠

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⎛1 2 3⎞
⎜
⎟
B = ⎜...