Tema 3 mrlg 3 2 test general de restricciones lineales v2

Tema2
Modelo de regresión lineal general
3.2. Test general de restricciones
lineales. Algunos casos particulares

Profesor: Fernando Isla

Clase 3

Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación de hipótesis sobre un
conjunto de parámetros
3.2.1. Restricciones en el modelo
Dado el siguiente modelo
Yi   1   2 X 2i   3 X 3i  ui

Podríamos contrastar las siguientes nulas:
a) H 0 :  2   3  0
b)H 0 :  2   3  1

Restricciones lineales

c) H 0 :  2   3
d) H 0 :  2  1 /  3

Restricción no lineal

Los casos anteriores se conocen como restricciones sobre un conjunto
de parámetros. Dichas restricciones se cumplen si no se puede
rechazar la hipótesis nula. En el caso de restricciones lineales se
acostumbra a utilizar la siguiente notación matricial:
H 0 : R  r
Lección 3: Verif. dehipótesis

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Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación de hipótesis sobre un
conjunto de parámetros
H 0 : R  r

R = r  Sistema de Restricciones Lineales

R = Matriz de coeficientes conocidos (q x k)
 = vector de parámetros ( k x 1)
r = vector de coeficientes conocidos ( q x 1)
q = número de restricciones de la hipótesis nula
a) H 0 :  2   3  0

b) H 0 :  2   3  1

c) H 0 : 2   3

 1 
0 1 0    0 
0 0 1    2   0 

   
 3

0

0

 1 
1 1  2   1
  3 

 1 
1  1  2   0
  3 

Lección 3: Verif. de hipótesis

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Clase 3

Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación de hipótesis sobre un
conjunto de parámetros
3.2.2. Estimador con restricciones lineales (MCR)
En la práctica existen dos problemas diferentes:
1.Estimar con las restricciones

y  X  u
S .A. R  r
Se trata de minimizar la SCR pero imponiendo la restricción R = r
(problema de optimización). Utilizando el método de lagrange llegamos a:



 r  Rˆ 

ˆ R  ˆ MCO   X X 1 R  R X X 1 R 

1

MCO

ˆ R  estimador con restriccio nes

Lección 3: Verif. de hipótesis

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Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación dehipótesis sobre un
conjunto de parámetros
2. Estimar sin las restricciones
Sin embargo, a priori, casi nunca vamos a estar seguros de que una determinada
relación entre los parámetros se cumpla.
Por ello, lo que se hace primero es estimar el modelo sin restricciones y luego se
contrasta si dichas restricciones se pueden cumplir mediante el test de la F-snedecor.
Si finalmente estas restricciones secumplen, podríamos incorporarlas en el modelo
para estimarlo nuevamente (estimamos un nuevo modelo llamado restringido).

Yi   1   2 X 2i   3 X 3i  ui
H 0 :  2  3

Modelo no restringido

Aplicando el test de la F no podemos rechazar la hipótesis nula

Yi   1   2 X 2i  X 3i   ui
Z i  X 2i  X 3i

Yi   1   2 Z i  ui
Modelo restringido

Lección 3: Verif. de hipótesis

Clase 3

5Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación de hipótesis sobre un
conjunto de parámetros
3.2.3. Test General de Restricciones Lineales (TGRL): Contraste F
Llamaremos:

SCRSR  SCR de la regresión estimada por MCO sin imponer restricciones.
SCRCR  SCR de la regresión estimada por MCO con restricciones.
Se demuestra que:

SCRCR > SCRSR
Puede ocurrir que:
- la hipótesis nula sea falsa, en cuyo caso,las restricciones no se cumplen y

por tanto la diferencia SCRCR - SCRSR será muy grande y positiva.
- la hipótesis nula sea cierta, en cuyo caso, las restricciones se cumplen y por
tanto la diferencia SCRCR - SCRSR será pequeña y positiva.
Lección 3: Verif. de hipótesis

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Fernando Isla Castillo

3.2 Verificación de hipótesis sobre un
conjunto de parámetros
3.2.3. Test General deRestricciones Lineales (TGRL): Contraste F
Necesitamos por tanto un estadístico con distribución conocida basado en la
diferencia de SCR tal que cuanto mayor sea esa diferencia mayor valor tomará el
estadístico y por tanto, más probable será rechazar la hipótesis nula que recoge las
restricciones.
Dado el siguiente conjunto de restricciones lineales:
H 0 : R  r

 q  número de restricciones

Se...