Tema 4

TEMA 4: EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD


1. Experimento aleatorio. Espacio muestral asociado.

1.1. Concepto de experimento aleatorio.

Definición: Un fenómeno o experiencia se dice aleatorio cuando al repetirlo en condiciones análogas no se puede predecir el resultado.
Si por el contrario, se puede predecir el resultado de una experiencia aún antes de realizarla, se dice que elexperimento es determinista.

Son fenómenos aleatorios:
Extracción de una carta de la baraja.
Lanzamiento de un dado.
Respuestas a una encuesta.


1.2. Espacio muestral. Suceso elemental.

Definición: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral.

Ejemplo: El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces es:



Cadaelemento del espacio muestral E se llama suceso elemental.


1.3. Sucesos. Tipos de sucesos.

Definición: Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se llama suceso a todo subconjunto del espacio muestral E.
Un suceso puede determinarse por extensión (enumerando los elementos) o dando una propiedad que se verifica por, y sólo por, los elementos de dicho subconjunto.
Diremos que unsuceso A se verifica cuando al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los sucesos elementales de A.

El conjunto formado por todos los sucesos del espacio muestral se llama espacio de sucesos (S). Es decir, el espacio de sucesos está formado por todos los subconjuntos del espacio muestral.

Ejemplo: Si la experiencia aleatoria es lanzar una moneda:

y

Los sucesos definidos porlos conjuntos y se llaman suceso imposible y suceso seguro respectivamente. El suceso imposible es aquel que nunca se realiza, y el suceso seguro es el que se realiza siempre.
Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario de A, y se representa por , al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente.
El suceso contrario de E es y recíprocamente.
Un suceso A se diceque está contenido o inducido en otro B si siempre que se verifica A se cumple también B. Se representa .


1.4. Operaciones con sucesos.

Unión de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama unión de A y B, y se representa por , al suceso que se realiza cuando se realiza alguno de ellos, A o B.

Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama intersección A y B y se representa por , alsuceso que se realiza si y sólo se realizan simultáneamente A y B.

Dos sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman sucesos incompatibles. Obsérvese que un suceso y su contrario son siempre incompatibles.

Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama suceso diferencia de A y B, y se representa por , al suceso . O sea está formado por todos los sucesos elementalesde A que no están en B.


Propiedades de la unión e intersección de sucesos.

1. Asociativa: Unión ()=(
Intersección()=

2. Conmutativa: Unión=BA
Intersección=BA

3. Idempotente: Unión AA =A
Intersección AA =A

4. Simplificativa: A=A ; A(BA)=A

5. Distributiva: A(BC)=(AB) (AC) ,

A(BC)=(AB) (AC)

6. A =E ; A =





Consecuencias:

a) A = A ; A =
b) A E = A ; A E= E
c) Leyes de Morgan: ;


2. Probabilidad


2.1. Definición de frecuencia

Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al número de veces que se verifica A al realizar el experimento un número determinado de veces.

Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento.

, siendo n el número de veces que serepite el experimento.

Propiedades:

1) 0
2)
3) Si = entonces


2.2. Introducción al concepto de probabilidad como límite de frecuencias.

La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia un número a medida que el número de pruebas del experimento aleatorio crece indefinidamente.
Este número al que la frecuencia relativa se acerca a medida que es mayor el número de pruebas...