Tema 4


4.1 Concepto de Centroide: Perfiles Simples

4.2 Centroides de Forma Compleja

4.3 Concepto de Momento de Inercia de un Área Plana

4.4 Momentos de Inercia de perfiles compuestos. Caso general: Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos

4.5 Radio de Giro.

4.6 Momentos Polares de Inercia


























4.1 Concepto de Centroide: Perfiles Simples

El centroide de un áreaes el punto con respecto al cual el área podría ser equilibrada si estuviera soportada en dicho punto. Centroide es una derivación de la palabra centro y se puede considerar como el centro geométrico de un área.

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tantodesaparecerá.

Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.

Para cuerpos tridimensionales, el termino centro de gravedad o centro de masa, se utilizan para definir un punto similar.

Para casos de áreas simples,como serian un círculo, cuadrado, rectángulo o triangulo, el centroide es fácil de visualizar. La figura anexa muestra las ubicaciones, denotadas con la letra “C”.

En el apéndice “D” (paginas 966 y 967) de su libro de texto contiene mas datos sobre los centroides y otras propiedades de algunas áreas planas mas comunes.

Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es elcentroide de la figura.

Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general.


4.2 Centroides de Formas Complejas

Las formas mas complejas pueden ser consideradas como compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide,como mas adelante demostraremos.

Se puede utilizar una regla muy simple para localizar centroides de algunas combinaciones especiales de áreas:







En las siguientes figuras se muestran seis ejemplos donde podemos aplicar estas reglas.



4.2.2 Método de las Áreas Compuestas

Cuando no hay dos ejes de simetría, utilizaremos el Método de las Áreas Compuestas para localizar el centroide. Porejemplo, consideremos la figura que se muestra a la derecha. Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples cuyo centroide se puede localizar aplicando el siguiente principio:






Este principio utiliza el concepto del momento de un área, es decir el producto del área por la distancia del eje de referencia al centroide del área.

El principio establece que:




Si loexpresamos de forma matemática tendremos:

AT Y = ∑ (Aiyi)

donde AT = área total de la forma compuesta
Y = distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia.
Ai = área de un componente de la forma
yi = distancia al centroide del componente con respecto a un eje de referencia.

El subíndice i indica que puede haber varios componentes y que sedebe formar el producto Aiyi por cada uno y luego sumarlos, como se indica en la ecuación.

Como nuestro objetivo es Calcular Y, entonces se resuelve la ecuación como:

∑ (Aiyi)
Y = ---------------
AT4.3 Concepto de Momento de Inercia de un Áreas Planas.

En el estudio de la mecánica de materiales, la propiedad del momento de inercia de un área indica la rigidez que pueda tener una viga o columna, es decir, la resistencia a flexionarse cuando es sometida a una carga. La deflexión de una viga ó columna es inversamente proporcional al momento de inercia, como...