Tema 5

1
Movimiento armónico simple .
E: Un resorte de constante k está conectado en uno de sus extremos a un cuerpo de masa m y en
el otro a una pared. El sistema masa-resorte descansa sobre una mesahorizontal sin fricción.
Determine la posición en la forma x.t/ D A sen.wt C / y la velocidad del cuerpo, con las
condiciones iniciales x.0/ D x0 , v.0/ D v0 .
a. m D 0:5 kg, k D 8 N/m, x.0/ D 0 m,v.0/ D 2 m/s.

b. m D 2:5 kg, k D 10 N/m, x.0/ D 0:1 m, v.0/ D

1:2 m/s.

D: H
1
kg, k D 8 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 2 m/s.
2
De acuerdo con los datos, la ecuación diferencial que modela laposición x.t/ de la masa
es
1 00
x .t/ C 8x.t/ D 0:
2
Para determinar la solución proponemos x.t/ D e r t ; si derivamos dos veces obtenemos

a. m D

x 0 .t/ D re r t

&

x 00 .t/ D r 2 e rt :

Si ahora sustituimos en la ecuación diferencial tenemos que
1 2 rt
r e C 8e r t D 0:
2
Si dividimos entre e r t , obtenemos la ecuación característica:
12
r C 8 D 0 ) r 2 C 16 D 0;
2que tiene como raíces a los números complejos r1 D 4 i y r2 D 4i . Es decir, dos soluciones
linealmente independientes de la ED son x1 .t/ D cos 4t y x2 .t/ D sen 4t .
En consecuencia, la solución dela ED homogénea es una combinación lineal de estas dos
soluciones. Así obtenemos:
x.t/ D c1 cos 4t C c2 sen 4t:
Para determinar las constantes c1 & c2 calculamos la primera derivada de x.t/, estoes, la
velocidad de la masa:
x 0 .t/ D v.t/ D 4c2 cos 4t 4 c1 sen 4t:

Si sustituimos en las dos expresiones previas las condiciones iniciales, x.0/ D 0 y v.0/ D 2,
obtenemos:
x.0/ D 0 ) c1 D 0I1
v.0/ D 2 ) 4c2 D 2 ) c2 D :
2

1. canek.azc.uam.mx: 16/ 12/ 2010

2
Por lo tanto, la solución del PVI es
x.t/ D

1
sen 4t:
2

1
Ésta es una función con frecuencia natural ! D 4rad/s, amplitud A D m, periodo
2
2
1
2
TD
D s y frecuencia f D
D osc/s. La velocidad está dada por v.t/ D 2 cos 4t
!
2
T
m/s.
5
1
6
b. m D kg, k D 10 N/m, x.0/ D
m, v.0/ D
m/s.
2
10...