Tema6

Tema 6
Soluciones aproximadas de un
sistema de ecuaciones
En este tema consideraremos u
´nicamente sistemas de ecuaciones lineales sobre
el cuerpo de los n´
umeros reales.

6.1.

Introducci´
on

A la hora de resolver problemas reales pueden aparecer sistemas de ecuaciones
del tipo

a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 

·········


am1 x1 + · · · + amn xn = bm
en los que los coeficientes aij y lost´erminos bi corresponden a datos tomados experimentalmente. Debido a los errores que aparecen en las mediciones, es posible que,
aunque esperemos obtener un sistema compatible, el que obtengamos en la pr´actica
no lo sea.
Como no podemos hablar de soluci´on del sistema incompatible obtenido, definimos el concepto de soluci´on aproximada de un sistema.
Nota 6.1.1. El sistema de ecuaciones

a11x1 + . . . + a1n xn = b1 

,
..................


am1 x1 + . . . + amn xn = bm
donde todos los aij y los bj son elementos de un cuerpo K, puede escribirse tambi´en
1

Matem´
aticas I. Curso 2015/16
6.2. SOLUCIONES APROXIMADAS DE UN SISTEMA

como




















a11
a1n
b1
 . 
 . 
.. 
 . 
 . 
. 
 x1 + · · · +  .  xn =  .  .
am1
amn
bm

Proposici´
on 6.1.2. Elsistema de ecuaciones



a11
a1n
 . 
 .
 ..  x1 + · · · +  ..



am1
amn


b1



 xn =  ... 



bm

es compatible si y s´olo si el vector columna B se puede escribir como combinaci´on
lineal de los vectores columna {A1 , · · · , An }, es decir, si B ∈ Col(A).
Si nos dan un sistema AX = B, incompatible, sabemos que B ∈
/ Col(A). Nuestro
objetivo es buscar un vector columna C ∈ Rmque sea lo m´as parecido posible a B y
que s´ı pertenezca al subespacio Col(A), para que el sistema AX = C tenga alguna
soluci´on.
Tal vector C ∈ Rm ser´a la proyecci´on ortogonal del vector B sobre el subespacio
Col(A), ya que, como sabemos
B − C = min { B − D | D ∈ Col(A)}.
En lugar de resolver el sistema AX = B, resolveremos el sistema AX = C, que
ser´a compatible por ser C ∈ Col(A).

6.2.Soluciones aproximadas de un sistema

Definici´
on 6.2.1. Dado un sistema de ecuaciones AX = B, con A ∈ Mm×n (R),
llamamos soluci´on aproximada del sistema a cualquier vector columna X ∈ Rn que
sea soluci´on (ordinaria) del sistema AX = C, donde C ∈ Rm es la proyecci´on
ortogonal del vector B sobre el subespacio Col(A) ⊆ Rm .
Nota 6.2.2. Si el sistema AX = B que aparece en la definici´on anteriores compatible, el vector B est´a ya en el subespacio Col(A). Por tanto, en este caso, la
proyecci´on ortogonal de B sobre este subespacio es el propio B y el concepto de
soluci´on aproximada del sistema AX = B coincide con el de soluci´on ordinaria de
dicho sistema.
Matem´
aticas I

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Dpto. de Matem´
aticas

Matem´
aticas I. Curso 2015/16
TEMA 6. SOLUCIONES APROXIMADAS DE UN SISTEMA DEECUACIONES

Consideremos ahora u
´nicamente sistemas compatibles. Se puede observar que,
aunque tengan infinidad de soluciones, podemos destacar una de ellas.
Proposici´
on 6.2.3. Si un sistema de ecuaciones sobre R es compatible y X0 es una
soluci´on, entonces el conjunto de todas las soluciones es X0 + KerA = {X0 + Z; Z ∈
KerA}. Adem´as, de entre todas las soluciones del sistema AX = B, la u
´nica denorma m´ınima es la que es ortogonal al subespacio KerA.
Definici´
on 6.2.4. Dado un sistema de ecuaciones AX = B, con A ∈ Mm×n (R),
llamamos soluci´on aproximada de norma m´ınima del sistema a la (´
unica) soluci´on
de norma m´ınima del sistema compatible AX = C, donde C ∈ Rm es la proyecci´on
ortogonal de B sobre el subespacio Col(A).

6.3.

Ecuaciones normales de un sistema de ecuaciones

Enesta secci´on se muestra una forma alternativa de hallar las soluciones aproximadas de un sistema AX = B, sin necesidad de calcular antes la proyecci´on ortogonal de B sobre el subespacio Col(A). Seguimos llamando C a dicha proyecci´on,
aunque no la calculemos de forma expl´ıcita.
Sabemos que cada soluci´on aproximada X ∈ Rn del sistema, verifica
AX = C
B − C ∈ (Col A)⊥

.

Eliminando C de ambas...