teorema de bayes

Teorema de bayes
-La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades
condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A
partir de unconjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula
un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que
una modificación de las primerasante la evidencia de que un determinado suceso
ha ocurrido.
Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entre
el planteo de probabilidad condicional realizadohasta este momento y el de
Bayes. Cuando nosotros escribimos:
P(B|A)
decimos que esto es
- la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidad
condicional.El planteo que hace la Regla de Bayes es:
- el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que
A sea causa de B. O sea debo hallar P(A|B).
De una manera masgeneral podemos decir : El evento B ha ocurrido, cual es la
probabilidad de que haya sido generado por el suceso A1, el A2, etc.; causas
posibles y excluyentes entre si.
Sabemos queP(B|A1) = P(B ^ A1)/P(A1)
y P(A1|B) = P(B ^ A1)/P(B ) De lo que se deduce,
P(A1|B).P(B) = P(B|A1).P(A1) Despejando P(A1|B) ,
(ii) P(A1|B) = P(B|A1).P(A1)/P(B)
Para calcular P(B),supongamos que hay N eventos (A1,A2,A3,..An)
mutuamente excluyentes entre si que podrían causar el evento B(efecto). El efecto B debería ser generado por una de esas causas; entonces laprobabilidad de que
B ocurra puede estar dada por:
P(B) = P[(A1^B) U (A2^B) U (A3 ^ B) U...U (An^B)]
Como los sucesos Ai son mutuamente excluyentes, entonces: (Ai^B) y (Aj^B)
deben serlopara todo i distinto de j. Por la regla de adición obtenemos:
P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) +...+ P(An).P(B|An)
Reemplazando este resultado en la ecuación (ii) obtenemos la