Teorema De Bayes

TEOREMA DE BAYES

Probabilidad y Estadísticas

Centro Educativo Mexicano Americano

Gerardo Antonio Tenorio Aguilera

Maestra: Alejandra Varga

Teorema de Bayes
El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque lasprobabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Aunque los símbolos (P|A) y P (B|A) pueden ser parecidos, hay una gran diferencia entre las probabilidades que representan. Por ejemplo, 137 calcular la probabilidadP (GN) de llantera de marcas reconocidas ofrezca buen servicio con garantía,¿ pero a que se refiere cuando escribimos P(N|G)? esta es la probabilidad de que a una llantera que ofrece un buen servicio con garantía sea una llantera de marcas reconocidas . Para dar un ejemplo, supongamos que B representa el evento de que una persona cometió un asalto y G representa el evento de que la encuentranculpable del crimen. Así, P(G|B) es la probabilidad de que a la persona que se le encuentra culpable del asalto en realidad lo haya cometido. Por tanto, en ambos ejemplos hemos revertido las situaciones; por así decirlo, la causa se convirtió en efecto y el efecto se convirtió en causa.
Ya que estadística hay muchos problemas que implican pares de probabilidades condicionales similares, encontremosuna fórmula que exprese P(B|A) en términos de P(A|B) para dos eventos A y B, cuales quiera que sean. Con este fin, balanceamos las expresiones para (A n B) en las dos formas de la regla de multiplicación general.
P(A)*P(B|A)=P(B)*(A|B)
Y, por tanto.
P(B|A)= P(B)*P(A|B)/P(A)
después de dividirentre P(A).
Ejemplo:
En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisión de contaminantes a los automóviles, 25% de todos los automóviles emite cantidades excesivas de contaminantes. Cuando se prueban, 99% de todos los automóviles que emiten cantidades excesivas de contaminantes no pasa, pero 17 % de los automóviles que no emiten cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasara. ¿Cuál esla probabilidad de que a un automóvil que no pase la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes?
Solución:
Suponiendo que A representa el evento de que un automóvil no pasara la prueba y B es el evento de que emite cantidades excesivas de contaminantes, podemos convertir los porcentajes de referencia en probabilidades y expresar que
P(B)=O.25, P(A|B)=0.99, Y P(A|B’)=O.17.Antes de que podamos calcular P(B|A) por medio de la fórmula que presentamos en la primera parte que ya expuse, primero debemos determinar P(A) y para hacer esto observemos el diagrama del árbol. Aquí, se llega a A ya sea por la rama que pasa por B o por la rama que pasa por B’ y las probabilidades de que esto suceda son
(O.25)(0.99)= 0.2475 y (0.75)(0.17)= 0.1275.
Ya que las alternativasrepresentadas por las dos ramas son mutuamente excluyentes, encontramos que P(A)=O.2475+0.1275=0.3750 y la sustitución en la formula para P(B|A) da como resultado

P (B|A)= P(B)*P(A|B)/P(A)=(0.25)(0.99)/0.3750=0.66
Esta es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes

G=B E=A
En relación con el diagrama de árbol de la figuraanterior, podemos decir que P(B|A) es la probabilidad de que se llegue a l evento A por la rama superior del árbol y demostramos que este valor se determina mediante la razón de la probabilidad asociada con la rama del árbol a la suma de probabilidades asociadas con ambas ramas. Este argumento se puede generalizar para el caso en el que hay más de dos “causas” posibles, específicamente, mas de...