Teorema de Bernoulli

PROBABILIDAD I
Teorema de Bernuolli

Introducci´n
o
En este escrito expondremos de forma detallada el Teorema de Bernoulli. Inroducimos primero el modelo de distribuci´n Bernoulli par´metro p, ofreciendo una discusi´n
o
a
o
sobre el sentido del teorema que nos ocupa. En la secci´n inmediata, formalizamos el
o
concepto de independencia para variables aleatorias (y ensayos) Bernoulli eintroducimos el modelo de distribuci´n binomial como una suma finita de variables aleatorias
o
Bernoulli independientes y con mismo par´metro p. Complementariamente se proa
bar´n algunos propiedades utiles para la prueba del Teorema de Bernoulli, el cual se
a
´
enuncia y se demuestra en la ultima parte de este texto.
´
Lo aqu´ expuesto est´ basado enteramente en las referecias bibliog´ficasque apareı
a
a
cen al final. Estas p´ginas est´n dedicadas a los autores.
a
a

Ensayos y distribuci´n Bernoulli
o
Definici´n (Ensayo Bernoulli). Un ensayo Bernoulli es un fen´meno aleatorio que solo
o
o
admite dos posibles resultados, uno denominado ´xito y otro denominado fracaso.
e
Los ejemplos cl´sicos de ensayos Bernoulli son los juegos de azar que consisten en ”ganar”
a
o”perder”, como los volados, la loter´ y ciertos juegos de apuesta con cartas.
ıa
Probabilidad de ´xito en un ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli est´ asociado a
e
a
un par´metro determinado por la probabilidad de obtener ´xito en la realizaci´n del ensayo.
a
e
o
Esto es, si E y F representan los eventos ´xito y fracaso, respectivamente, entonces definimos
e
p := P(E)

y

q := P(F ) = 1 − p.La forma en que se determina este par´metro es a veces una cuesti´n pol´mica. Por
a
o
e
ejemplo, decimos que una moneda es honesta si observamos, tras varios lanzamientos, que
la regularidad con la que resulta aguila es cercana al 50% de las veces, y en este caso,
´
ateniendonos a un esquema de razonamiento frecuentista, aceptamos que p = 1/2. En otros
casos, sin embargo, la moneda podr´estar cargada hacia un resultado, ya sea aguila o sol, y
ıa
´
podr´
ıamos cuestionar si es v´lido ”aproximar” el valor del par´metro p mediante repeticiones
a
a
sucesivas e independientes1 del volado, en cuanto que en apariencia no hay manera de saber
1

Es f´cil comprender el sentido de esta palabra para este contexto. Nos referimos obviamente a que cada
a
volado se lleva a cabo enlas mismas condiciones, sin considerar los resultados previos en el lanzamiento
actual de un volado, y para los volados futuros sin importar el lanzamiento actual.

1

qu´ n´mero de volados hay que realizar para aproximar, dentro de un margen de error
e u
establecido a priori, el valor de p. Y por otro lado, aunque en la pr´ctica, desde siempre, se
a
ha aceptado que el valor de p, seacual fuere, puede aproximarse por este razonamiento de
regularidad frecuentista, hasta Bernoulli no hab´ manera de justificar de alg´n modo esta
ıa
u
v´ en la determinaci´n de p.
ıa
o
El Teorema de Bernoulli. Bernoulli trabaj´, seg´n sus propias palabras, cerca de 20
o
u
a˜os en este problema. Demostr´ finalmente que en t´rminos estoc´sticos (lo cual es de
n
o
e
a
bastante relevanciase˜alar), el esquema frecuentista de razonamiento en la aproximaci´n
n
o
del par´metro p, es efectivo. Heur´
a
ısticamente, el Teorema de Bernuolli afirma que en un
n´mero grande de repeticiones de un mismo ensayo Bernoulli, es ”muy probable” que la
u
frecuencia relativa con que ocurre ´xito est´ cercana al valor te´rico del par´metro p.
e
e
o
a
Actualmente, este resultado se conoce comoLey d´bil de los grandes n´meros. Con las
e
u
herramientas matem´ticas actuales, se puede probar de hecho que, con probabilidad 1, el
a
par´metro p es el l´
a
ımite, cuando n → ∞, de la frecuencia relativa de ´xito en n repeticiones
e
del mismo ensayo Bernoulli, lo que se conoce como Ley fuerte de los grandes n´meros.
u
Aunque la afirmaci´n de Bernoulli y la Ley fuerte de los...