Teorema De Euler

Teorema de Euler
La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de caras más el números de vértices es igual al número dearistas más dos. Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene que:
C + V = A + 2
Las consecuencias más importantes delteorema de Euler son:
1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
2) Sólo existen cincopoliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo número de aristas y que son:tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectoscomo el número de vértices que tiene menos dos.
La prueba original del teorema de Euler, en notación moderna, se desarrolla en los siguientespasos:
 Consideremos el conjunto P de los enteros menores que n y coprimos con n
 Multipliquemos cada elemento del conjunto P por a para formar elconjunto Q
 Los elementos del conjunto Q son congruentes a los del elemento P (en diferente orden).
 Sea u el producto de los elementos de P, ysea v el producto de los elementos de Q
 Los números u y v son congruentes pues sus factores son congruentes: u≡v (mod n)
 El entero v es igual au multiplicado por aφ(n): v=u·aφ(n)
 Cancelamos el factor u en la congruencia u≡v (mod n): u≡u·aφ(n) (mod n)
 Concluimos 1≡aφ(n) (mod n)