Teorema espectral

Matrices semejantes

Definición. Sean A , B ∈ M n×n ( » ) . Se dice que la matriz A es semejante a la matriz B , si existe una matriz no singular P tal que

A = PBP −1 .
Ejemplo:

 27 / 7 −3 11/ 7  0 1 −1  −37 / 7 −4 13 / 7  es semejante a la matriz B = 1 0 0  , porque existe La matriz A =      −2 / 7 1 1/ 7  0 −1 0     

 1 1 − 3   una matriz inversible P = 2 1−3 , tal que   2 2 1   
A = P B P −1

 27 / 7 −3 11/ 7   1 1 −3  0 1 −1  27 / 7 −3 11/ 7   −37 / 7 −4 13 / 7  =  2 1 −3 1 0 0   −37 / 7 −4 13 / 7         −2 / 7 1 1/ 7   2 2 1   0 −1 0   −2 / 7 1 1/ 7       

Proposición. La relación de semejanza es de equivalencia, es decir: a. Reflexiva A es semejante a A . b. Simétrica. Si A es semejante a B ,entonces B es semejante a A . c. Transitiva. Si A es semejante a B y B es semejante a C , entonces A es semejante a C . Demostración (ejercicio) Propiedades Si A , B ∈ M n×n ( » ) son matrices semejantes, se satisface: • • • •

Rango ( A) = Rango( B )

A= B
Tr ( A) = Tr ( B )
Poseen el mismo polinomio característico. En consecuencia, los mismos autovalores.

Diagonalización

Definición.Una matriz A ∈ M n×n ( » ) es diagonalizable, si es semejante a una matriz diagonal D , es decir, existe una matriz no singular P , tal que

A = P D P −1 ,
o de manera equivalente

D = P −1 A P .

 5 −6 −6   2  es diagonalizable, porque es semejante a la matriz Ejemplo. La matriz A = −1 4    3 −6 −4    1 0 0    diagonal D = 0 2 0 :   0 0 2  
D = P −1 A P

1 0 0   −12 2   5 −6 −6   3 2 2  0 2 0  =  −1 3 2   −1 4 2   −1 1 0        0 0 2   3 −6 −5  3 −6 −4   3 0 1       

Las preguntas que surgen a continuación son: ¿cuándo una matriz cuadrada A es diagonalizable? , y si la matriz es diagonalizable, ¿cómo calcular la matriz P que diagonaliza? Si A es diagonalizable, entonces A es semejante a la matriz diagonal D y sesatisface

D = P −1 A P . Sabemos por las propiedades de las matrices semejantes que sus polinomios
característicos coinciden, en consecuencia sus autovalores también coinciden. El siguiente teorema proporciona un criterio que permite responder a las interrogantes planteadas. Teorema. Una matriz cuadrada A ∈ M n×n ( » ) es diagonalizable (en » ), si y solamente si existe una base de » n formada porautovectores de A .

Ejemplo: Veamos si es posible diagonalizar la matriz

1 1 0  A = 0 3 0 .    2 −1 2   
Calculamos los autovalores de la matriz:

λ I3 − A = 0

↔

λ1 = 0 λ2 = 3 (multiplicidad algebraica 2)

Calculamos los autovectores asociados:

 1   0         Eλ1 − {0} =  k  0  : k ∈ »  −  0       −1   0           1    0  1      0  : k , k ∈ »  −  0   . Eλ2 − {0} =  k1  2  + k2   1 2     0    0    2        

1 1  1  0  , v =  2  , v =  0  , observamos que el conjunto v , v , v formado por Denotando v1 = { 1 2 3}   2   3    −1 0  2      
autovectores de A constituye una base de »3 . De este modo, la matriz A es diagonalizable y se satisface0 0 0  1 0 3 0 =  0    0 0 3  −1    D =

1 1  1 1 0   1 1 1  2 0 0 3 0  0 2 0     0 2   2 −1 2   −1 0 2      −1 P A P

−1

Construcción de bases ortogonales y ortonormales Definición. Sea W ⊆ » n un subespacio vectorial y {v1 , v2 ,..., vk } una base de W . a. b.

{v1 , v2 ,..., vk } es una base ortogonal de W , si vi , v j = 0 , ∀i ≠ j . {v1 ,v2 ,..., vk } es una base ortonormal de W , si es una base ortogonal y
vi = 1, ∀i = 1, 2,..., k .

Ejemplos: a. La base canónica {e1 , e2 ,..., en } de » n es una base ortonormal. b. La base  

  −2   −1  2  ,  −2   de » es ortogonal, pero no ortonormal. Sin embargo, puede  1    
1 1 ( −2,1) , u2 = (1, −2 ) . v1 v2

construirse a partir de ella la base {u1 , u2 } ,...