TeoremaDEMOSTRACIONESTEORIA


Teorema. Hay infinitos números primos.
DEMOSTRACIÓN:
Por reducción al absurdo. Supóngase, por el contrario, que sólo hay un número finito de números primos y supóngase que se denotan como a, b,c, ... , d. Este conjunto puede contener 400 ó 400.000 números primos, pero suponemos que los contiene todos.
Multiplíquense estos números primos unos por otros y sumemósle 1 al producto para obtenerun nuevo número:
N = (a · b · c ·...· d) + 1
Nótese que al tener solamente un número finito de números podemos, en efecto, multiplicarlos de esta manera. Un número infinito de números primos nopodría haberse multiplicado de dicho modo.
Obviamente, N es mayor que cualquiera de los números primos individuales a, b, c, ... , d, y por tanto N es diferente de todos ellos. Puesto que estos númerosson los únicos números primos existentes, concluimos que N no es un número primo.
Esto significa que N debe ser un número compuesto, y por tanto N tiene un divisor primo. Puesto que hemos supuesto quea, b, c, ... , d, constituyen todos los números primos, este divisor primo de N debe estar en algún lugar entre ellos.
Dicho de otra manera, N es un múltiplo de uno de los números primos a, b, c,... , d. Realmente, poco importa de cual de ellos es, pero por razones de concreción, suponemos que N es un múltiplo de c. Claramente, el producto
a · b · c ·...· d es también un múltiplo de c yaque c aparece como uno de los factores. Pero la diferencia entre N y a · b · c ·...· d será también un múltiplo de c. Pero, por definición, N es exactamente 1 más que este producto, luego ladiferencia es 1.
Por tanto, llegamos a la conclusión de que 1 es múltiplo de c (o de cualquier otro número primo que es un factor de N). Esto claramente, es imposible. Por tanto concluimos que hay infinitosnúmeros primos.








Teorema. ALGORITMO EUCLIDES
En las condiciones anteriormente descritas, tenemos:
axi + byi = ri (2.1)
para i = 1, 2, . . . , k.
Demostracion. Sea S el conjunto de los i ∈ Z...