teoria de campos, fisica

Tema 1. Teoría de Campos
1.1
1.2
1.3
1.4

1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15

Magnitudes escalares y vectoriales.
Vectores unitarios y descomposición de vectores.
Tipos de vectores.
Operaciones con vectores
1.4.1 Suma y diferencia analítica de vectores.
1.4.2 Producto de un vector por un escalar.
1.4.3 Productos escalar.
1.4.4. Producto vectorial.
1.4.5.Producto mixto.
Momento de un vector.
1.5.1 Respecto a un punto. Teorema de Varignon.
1.5.2 Respecto de un eje.
Derivada de un vector respecto de un escalar
Integral de un vector a lo largo de una línea. Circulación.
Integral de un vector sobre una superficie. Flujo.
Concepto de campo. Campos escalares y vectoriales.
Gradiente de un campo escalar.
Divergencia de un campo vectorial.Rotacional de un campo vectorial.
Laplaciano de una función escalar.
Teorema de Stokes.
Teorema de Gauss.

Nota: El contenido de estos apuntes pretende ser un resumen de la materia
desarrollada en el curso. Por ello, el alumno debe de completarlo con las
explicaciones y discusiones llevadas a cabo en clase y con la bibliografía
recomendada.

1.1

Magnitudes escalares y vectorialesMagnitud escalar (o escalar), es toda magnitud que está definida mediante un número
y su unidad de medida.
Los escalares dependen únicamente de la unidad de medida y no del sistema de
referencia.
Son ejemplos de magnitudes escalares: la masa, la carga, la temperatura, la energía, etc.

1

Magnitud vectorial es aquella que está representada mediante un vector, el cual es un
segmento orientado enel espacio.
Para que una magnitud vectorial pueda estar perfectamente definida es necesario dar
además de su valor numérico (módulo) y unidad de medida correspondiente, su punto
de aplicación (coincide con el origen del vector), su dirección y sentido. Depende por
tanto del sistema de referencia, y tiene tantas componentes (o coordenadas) como
dimensiones tenga el espacio o sistema dereferencia en el que se representa.
La dirección es una línea orientada en el espacio que se determina en función de los
ángulos que forma con los ejes del sistema de referencia.
El sentido del vector viene definido por la posición relativa del extremo respecto del
origen.
Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el
campo gravitatorio, etc.

1.2Vectores unitarios y descomposición de vectores.

r
Un vector a se representa en un sistema de ejes cartesianos x, y, z como:

r
ˆ
a = (a x , a y , a z ) = a x ˆ + a y ˆ + a z k
i
j
donde (ax, ay, az) son las componentes escalares del vector (o proyecciones del vector
sobre los ejes x, y, z), ( ˆ , ˆ , k ) son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes
i j ˆ
ˆ
x, y, zrespectivamente y se denominan versores, y (ax ˆ , ay ˆ , az k ) son las componentes
i
j

vectoriales.

Los vectores ( ˆ , ˆ , k ) forman una base ortonormal en el espacio vectorial R3.
i j ˆ

2

r
Módulo de un vector a es el valor absoluto de dicha magnitud y se corresponde con la
longitud del vector.

r →
Si a = AB , el módulo del vector se expresa como:
r
a ≡ a = d(A, B) = a 2 + a 2 + a2
x
y
z
r
Dado un vector cualquiera a , se puede obtener un vector unitario de la misma
dirección y sentido dividiendo dicho vector por su módulo:
r
r a
u= r
a
Los ángulos directores de un vector son cada uno de los ángulos α, β y γ que forma el
vector con los ejes coordenados x, y, z.
ax = a cosα

ay = a cosβ

az = a cosγ

Los cosenos directores (cosα, cosβ, cosγ) se obtienenen función de las componentes
ax, ay ,az y de el módulo del vector:
a
a
a
cosα = rx , cosβ = ry , cosγ = rz
a
a
a
Los cosenos directores verifican que:
cos 2α + cos 2β + cos 2 γ = 1

1.3

Tipos de vectores.

Vector nulo: Vector cuyo módulo es cero. Es un vector especial, pues carece de
dirección y sentido.
r
0 = (0,0,0)
r
ˆ
Vector unitario: Vector cuyo módulo es uno. Vector...