Teoria de grafos

Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:
• Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.
• Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados.
De unamanera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos.
GRAFO SIMPLE
En un grafo simple entre dos nodos sólo hay un arco. Si hay más de un arco hablamos de un multigrafo. Si los arcos se pueden recorrer en una en una dirección concreta pero no en la contraria lo llamamos grafo dirigido o dígrafo y los arcos son entonces aristas, silos arcos salen y llegan al mismo punto formando un bucle el grafo resultante se llama pseudografo.
A pesar de que un grafo parece una estructura muy elemental, hay muchísimas propiedades de los grafos cuyo estudio ha dado lugar a una completa teoría matemática. Fue Leonhard Euler quien ideó los grafos como una manera muy potente y elegante de resolver el problema de los puentes de Königsberg.Königsberg (hoy Kaliningrado en Rusia) era en tiempos de Euler (siglo XVIII) una ciudad prusiana cruzada por siete puentes. Durante la época se suscitó la cuestión no resuelta de si era posible recorrer toda la ciudad cruzando cada uno de los puentes una y sólo una vez. Si hacemos una representación esquemática de la ciudad vemos que los puentes unen cuatro porciones de tierra. La búsqueda porprueba y error no conduce a ningún resultado.

El problema de los puentes de Königsberg. Esta ciudad esta recorrida por el río Pregel que crea dos islas. ¿Se puede recorrer toda la ciudad pasando una sola vez por todos y cada uno de los 7 puentes que unen la parte insular de la ciudad con el resto?
Fuente: gráfico por el autor. La solución de Euler. El famoso matemático abstrajo losdetalles de la forma de la ciudad y sus puentes para quedarse con la conectividad, dando lugar a una de los primeros grafos. El orden de todos los vértices es impar, lo que implica que es imposible recorrerlos pasando una sola vez por cada uno.
Euler realizó una abstracción del problema representando mediante puntos las cuatro porciones de terreno y dibujando un arco entre cada dos puntos por cadapuente. Llamó orden de cada vértice al número de arcos que se reunían en el y se percató que el orden de cada vértice visitado en un recorrido sin saltos ha de ser par (sale un enlace y entra otro) excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el recorrido, que han de tener orden impar. Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices hande ser de orden par.
En el problema de Königsberg el orden de todos los nodos es 3, esto es impar, por lo que quedó claro que no existía solución para el problema. No había un camino que recorriese todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos.

 
Representación de Grafos
No es fácil representar apropiadamente un grafo. De hecho no es fácil representar bien prácticamentecualquier cosa que tenga utilidad. Sin embargo el estudio de las grandes posibilidades que ofrece la representación automática de grafos ha dado lugar a una serie de reglas que vale la pena citar aquí.
Según Kozo Sugiyama en su libro “Graph Drawing and Applications”* las reglas estáticas (que sirven para dibujar un solo grafo y no una sucesión de ellos de forma dinámica) se dividen en
• Reglasbásicas: se refieren a aspectos elementales como el solapamiento entre aristas vertices o ambos.
Reglas Básicas

KO OK KO OK KO OK
No solapar vértices No solapar aristas No solapar vértices con aristas
• Reglas semánticas: son reglas de posicionamiento de vértices y de dibujo de arcos o aristas (enrutado) derivadas del significado de vértices y aristas. Por ejemplo dibujar el...