Teoria mates

LA RECTA EN EL PLANO
VECTOR DE DIRECCIÓN DE UNA RECTA
Dada una recta r cualquiera, consideramos dos cualesquiera de sus puntos A y B. Llamamos vector
→
→
de dirección de r o vector director de r, al vector libre v =  AB  .
 

r
→

→
v =  AB  vector director de r.
 

→

v

•

Una recta tiene infinitos vectores de dirección (cada dos puntos arbitrarios de dicharecta
determinan uno de ellos), que pueden tener distinto módulo y sentido, pero todos ellos tienen
la misma dirección.
→
→
→

v´´

v´

→

v

→

→

v || v´ || v´´ ||…….

ECUACIONES DE UNA RECTA
La ecuación de una recta es una condición que cumplen todos y cada uno de sus puntos y
solamente ellos.
Hay distintas formas de expresar dicha condición, que son las distintas formas quetiene la ecuación
de una recta; para encontrarlas observamos que:
Una recta viene determinada por:
•

→

Un punto fijo P del plano y un vector de dirección v .
→

(P, v ) llamada determinación lineal de la recta.
•

Por dos puntos de la recta P y Q.

(P, Q)

 → →
Sea S = 0; i , j  un sistema de referencia ortonormal. En él vamos a calcular todas las ecuaciones


de larecta.

1

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA
→

Sea Α ∈ r un punto conocido de r y v uno de sus vectores de dirección (conocido). Sea X un punto
arbitrario de r.
→

v

→

→

a

x

→

j
→

i


 → 
X ∈ r ⇔ AX es vector de dirección de r 
 
⇔
→

Como v es vector de dirección de r


→
 →  →
 → 
AX  v ⇔  AX  se puede v expresar como un





→
→
 → 
número real λ por el vector v ⇔ ∃λ ∈ ℜ  AX  = λ v .



→  →   → 
Como OA +  AX  = OX  ;
  
 

→

→

 →  →
a +  AX  = x ; por tanto
 

→

→

→

→

 →  → →
 AX  = x − a .


→

Luego: X ∈ r ⇔ ∃λ ∈ ℜ x − a = λ v ⇔ ∃λ ∈ ℜ x = a + λ v
Hemos llegado a la ecuación vectorial de la recta:
→

→

→

X ∈ r ⇔ ∃λ ∈ ℜ x =a + λ v
→

Siendo:

x el vector de posición de un punto arbitrario X de la recta.
→

a el vector de posición de un punto A conocido de la recta.
→

v un vector de dirección de la recta.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
 → →
Tenemos S = 0; i , j  un sistema de referencia ortonormal. Conocemos un punto A(a1, a2)S de una


→

recta r y un vector v (v1, v2)B de direcciónde dicha recta.

2

Sea X(x, y)S un punto arbitrario de r; sustituyendo en la ecuación vectorial tendremos que:
X(x, y)S∈ r ⇔ ∃ λ ∈ ℜ ( x, y ) B = (a1 , a 2 ) B + λ (v1 , v 2 ) B , si operamos e igualamos las dos
coordenadas, tendremos las ecuaciones paramétricas de r:

X ( x, y) S ∈ r ⇔
•

x = a1 + λv1 
 con λ ∈ ℜ
y = a 2 + λv 2 

Para cada valor que le demos a λ real,obtendremos las coordenadas de un punto X de la
recta.

•

Para cada punto de la recta X(x, y)S obtendremos un único número real λ (el mismo para las
dos ecuaciones paramétricas).

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Como para X ∈ r se obtiene un único valor de λ real que es el mismo para las dos ecuaciones
paramétricas, se puede despejar λ en las dos ecuaciones paramétricas de r (siempre que v1 ≠ 0y
v2 ≠ 0), obteniéndose la ecuación continua de la recta:
x − a1 
v1 


y − a2 
λ=
v2 


λ=

X∈r ⇔

x − a1 y − a 2
=
v1
v2

Recuerda que (a1, a2) son las coordenadas de un punto A conocido de la recta y que (v1, v2) son las
→

coordenadas (ambas distintas de 0) de un vector v de dirección de dicha recta.

• Si v1 = 0 y v2 ≠ 0, la recta no tendría ecuación continua.Sus
ecuaciones paramétricas serían

a2

x = a1


 y su gráfica es una
y = a 2 + λv 2 
a1

recta paralela al eje de ordenadas OY
• Si v1 ≠ 0 y v2 = 0, la recta tampoco tendría ecuación continua. Sus
ecuaciones paramétricas serían

x = a1 + λv1 
 y su gráfica es una
y = a2


a2

recta paralela al eje de abscisas OX
a1

3

De la forma continua de r obtendremos la...