teoria15
Páginas: 5 (1017 palabras)
Publicado: 23 de agosto de 2015
´
Algebra.
Departamento de M´etodos Matem´
aticos y de Representaci´
on. UDC.
4. Producto vectorial y producto mixto.
y
|MBB | > 0.
Por tanto:
En este cap´ıtulo trabajaremos en un espacio eucl´ıdeo U de dimensi´
on
3.
1
1.1
e¯1
|GB | x1
y1
Producto vectorial.
e¯2
x2
y2
e¯3
x3
y3
|MBB GB MBB t ||MB
=
|GB ||MBB
Definici´
on.=
Definici´
on 1.1 Sea x
¯, y¯ dos vectores en U y supongamos que fijamos una base de
referencia B = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }. Definimos el producto vectorial de x
¯, y¯ como el vector
x
¯ ∧ y¯ verificando:
|GB
Comprobemos que dicha f´
ormula cumple la definici´
on de producto vectorial. Sea:
e¯1
|GB | x1
y1
2. Si x
¯, y¯ son independientes, verifica:
z¯ =
(a) x
¯ ∧ y¯ es perpendicular a x
¯ e y¯.x
¯ ∧ y¯ = x
¯
y¯ |sen(¯
x, y¯)|.
La definici´
on es coherente porque dados dos vectores independientes x
¯, y¯ en un
espacio eucl´ıdeo 3-dimensional, el espacio de vectores perpendiculares a ambos tiene
dimensi´
on 1. Por tanto hay un u
´nico vector en este subespacio si fijamos su norma
y su sentido.
B = {¯
u1 , u
¯2 , u
¯3 }
GB =
Supongamos que fijamos una base B = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }.Consideramos su base rec´ıproca
B ∗ = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }. Entonces:
Y:
z¯ =
Teorema 1.2 Si conocemos las coordenadas contravariantes de x
¯, y¯, las coordenadas
covariantes del producto vectorial se obtienen como:
e¯
|GB | x1
y1
x
¯ ∧ y¯ =
2
e¯
x2
y2
e¯
x3
y3
Prueba: Veamos primero que esta f´
ormula se comporta bien con el cambio de
base. Si B es otra base con la misma orientaci´
on que B setiene:
B;
(y) = (y )MB
B;
(e) = (e )MB
B;
donde u
¯1 = x
¯,
u
¯2 = y¯,
u
¯1
|GB | 1
0
u
¯2
0
1
x
¯ 2
x
¯ · y¯
0
x
¯ · y¯
y¯ 2
0
u
¯3
0 =
0
0
0
1
|GB |¯
u3 =
|GB |¯
u3 .
Con lo cual vemos que z¯ es perpendicular a x
¯, y¯. Adem´
as la base {¯
x, y¯, z¯} tiene
la misma orientaci´
on que B y a su vez que B . Por tanto u
´nicamente nos queda
comprobar que la norma de z¯ es la correcta.Pero teniendo en cuenta que u
¯3 es
unitario:
3
z¯
(x) = (x )MB
e¯3
x3 .
y3
y donde u
¯3 es un vector ortogonal a x
¯, y¯ unitario, y cuyo sentido est´
a escogido de
manera que la orientaci´
on de la base B coincida con la del base B. Entonces:
Expresi´
on anal´ıtica.
1
e¯2
x2
y2
Est´
a claro que si x
¯, y¯ son dependientes el resultado obtenido es ¯
0. En otro caso
escogemos lasiguiente base
(c) La base {¯
x, y¯, x
¯ ∧ y¯} tiene la misma orientaci´
on que B.
1.2
e¯ 1
| x1
y1
Como consecuencia de esto, es suficiente verificar la f´
ormula en una base cualquiera.
1. Si x
¯, y¯ son dependientes, entonces x
¯ ∧ y¯ = ¯
0.
(b)
e¯ 1 e¯ 2 e¯ 3
1
x
x2 x3 =
|
B
1
y
y2 y3
e¯ 1 e¯ 2 e¯ 3
||MB B | x 1 x 2 x 3 =
y1 y2 y3
e¯ 2 e¯ 3
x2 x3 .
y2 y3
=
2
= |GB | = x
¯
= x
¯
GB = MBB GBMBB t ;
75
2
2
y¯
2
− (¯
x · y¯)2 = x
¯
y¯ 2 (1 − Cos(¯
x, y¯)2 ) = x
¯
2
2
y¯
2
− x
¯
2
y¯ 2 Sin(¯
x, y¯)2 .
y¯ 2 Cos(¯
x, y¯)2 =
Tema III. Cap´ıtulo 4. Producto vectorial y producto mixto.
´
Algebra.
Departamento de M´etodos Matem´
aticos y de Representaci´
on. UDC.
Teorema 1.3 Si conocemos las coordenadas covariantes de x
¯, y¯, las coordenadas
contravariantes del productovectorial se obtienen como:
2
x
¯ ∧ y¯ =
e¯1
1
x1
|GB | y1
e¯2
x2
y2
Producto mixto
Definici´
on 2.1 Definimos el producto mixto de tres vectores x
¯, y¯, z¯ de un espacio
eucl´ıdeo 3-dimensional como:
e¯3
x3
y3
[¯
x, y¯, z¯] = (¯
x ∧ y¯) · z¯.
Como consecuencia de la expresi´
on anal´ıtica vista para el producto vectorial se
tiene la siguinte expresi´
on para el producto mixto:
Prueba: Secomprueba de manera an´
aloga a la f´
ormula anterior.
Teorema 2.2 Sean x
¯, y¯, y¯ son tres vectores de U y B una base. Se verifica:
1.3
Propiedades.
[¯
x, y¯, z¯] =
Teniendo en cuenta la expresi´
on anal´ıtica del producto vectorial, es f´
acil deducir las
siguientes propiedades:
x1
|GB | y 1
z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
[¯
x, y¯, z¯] =
x1
y1
|GB | z1
1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
El producto mixto...
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