Terraplenes

CAPÍTULO 7
EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS
1. INTRODUCCIÓN
A continuación, para una mejor comprensión de la teoría explicada en algunos pasajes anteriores de nuestro libro y su aplicación, se desarrollan en el presente capítulo algunos ejemplos complementarios adaptados respectivamente (ejemplos 2, 3 y 4), con las variaciones oportunas, de las excelentes obras de ARENALES, JOHNSTON y SPIEGEL,citadas en la bibliografía. Se trata de parcelas o situaciones geomorfológicamente atípicas pero de posible presentación en la práctica cotidiana de la ingeniería del movimiento de tierras.
2. EJEMPLO 1
Sea una porción de terreno destinada a un tramo determinado de zanja, de 1’30 m. de anchura y unos 20 metros de longitud, para la colocación de una tubería de impulsión de agua de riego defundición dúctil y ∅ 400 mm. interior para el llenado de un lago artificial, con una pendiente variable que se pretende uniformizar, en la cual se han tomado las coordenadas relativas de los 10 puntos que se expresan en la tabla siguiente:
Tabla 1. Coordenadas de los vértices de la parcela-zanja.
A continuación, puede verse la planta altimétrica correspondiente, con una equidistancia de las curvas denivel de 0’50 m.:

También puede verse el perfil longitudinal por el eje determinado (línea quebrada) por los puntos levantados de la zanja, con la rasante definitiva correspondiente:

a) Estímese la ecuación de regresión lineal múltiple que determina las cotas del plano óptimo definitivo de ajuste por el método tradicional de los mínimos cuadrados.
SOLUCIÓN.
Puesto que n = 10 vértices oestacas, formaremos la siguiente tabla auxiliar de cálculo:

Se trata de un sistema no homogéneo (heterogéneo), de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, A≠0, compatible y determinado, con solución única que podemos hallar mediante la aplicación del método de la inversión de la matriz, el de la triangularización de Gauss-Jordan o bien la regla de
Cramer (puesto que la matriz de los coeficientes delas incógnitas es invertible). Aplicando este último procedimiento, se tiene:

De este modo, el plano de regresión mínimocuadrática tendrá de ecuación general:
Y = -11’887 + 0’182·X1 + 1’649·X2
b) Estímese la misma ecuación de regresión lineal múltiple del plano óptimo de nivelación por aplicación del método presentado en este libro.
SOLUCIÓN.
Si ahora, a efectos puramentecomparativos, aplicamos el método de cálculo establecido por nosotros a partir de la expresada hoja Excel con Solver, se tendrá la ecuación de las cotas definitivas (Z = Ti): Y = -11’856 + 0’182 · X1 + 1’643 · X2
que resulta algo más ajustada que la anteriormente obtenida por el método analítico tradicional y ofrece la siguiente tabla de discrepancias o correcciones:
Tabla 3. Cotas definitivas ycorrecciones (I).

c) Calcúlese el correspondiente grado de explanación.
SOLUCIÓN.
Para tener una medida del grado de explanación, en base a lo explicitado en el capítulo 5 anterior, igualaremos a +10,00 m. la cota relativa media o centro de gravedad de la parcela en estudio, cuyo valor resulta de dividir la suma de las cotas iniciales del terreno natural por el número de vértices (68,3/10 = 6’83m.), con lo que se tendrá la siguiente tabla:

Obsérvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi – Ti como diferencia entre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducen de la aplicación de nuestro modelo de explanación. Ello es así con el objetivo de adecuarnos a la terminología utilizada para el cálculo de chi-cuadrado que realizaremos a continuación.El error estándar o típico de la estima de esta regresión múltiple (triple) vendrá dado por la expresión (véase el capítulo 5) con m = 2 variables explicativas correspondientes a la abscisa y la ordenada de cada punto:

Para N – 1 = 10 – 1 = 9 grados de libertad, se tiene un χ2 0,5 = 1’735, buscando en la tabla de percentiles de la distribución teórica de probabilidad chi-cuadrado que figura...