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a - Fernando
ur
S
ad
m

El teorema de Pappus

sidad de Ext
re
ver
i
n

V = 2p ⋅ dist ( eje, ( xW , yW ) ) ⋅ W
S = 2p ⋅ dist ( eje, ( xL , y L ) ) ⋅ L

W

L

donde ( xW , yW ) y ( xL , y L ) son los centros de W y L (1) . Este resultado se
conoce como teorema de Pappus (de Alejandría, siglos III-IV).

R

Ejemplo. Si se considera un toro de radio menor r y radio mayor R ,como en la figura, entonces su superficie y su volumen son

S = 2p ⋅ R ⋅ 2pr = 4p 2 rR

r

V = 2p ⋅ R ⋅ pr 2 = 2p 2 r 2 R

Ejemplo. Para un cilindro de altura h cuya base sea un círculo de
radio r el volumen es V = 2p ⋅ ( r 2 ) ⋅ rh = pr 2 h , que es el área
de la base por la altura. También se puede conocer su superficie,
2
que es S = 2p ⋅ r ⋅ h + 2p ⋅ r = 2pr ( r + h ) , y secorresponde con el área lateral más el área de
las dos tapaderas del cilindro.

Matemáticas
de
-U
to

Estos ejemplos muestran que algunas veces se puede utilizar el teorema de Pappus de forma casi
instantánea si se conocen (por motivos geométricos por ejemplo o bien porque el enunciado dice
qué valores son) las magnitudes que se utilizan: la distancia del eje al centro de gravedad y el área yel perímetro de lo que se hace girar.
En general, para hacer el cálculo de un volumen de revolución alrededor de un eje de una figura
plana W requiere hacer lo siguiente.

a - Fernando
ur
S
ad
m

1. Calcular la ecuación del eje. Es una recta en el plano y por lo tanto debe tener una ecuación del
tipo ax + by + c = 0 . A veces se dice qué recta es y a veces hay que calcularla.

sidadde Ext
re
ver
i
n

òò x =
W

òò x
W

òò 1

,

1
y=
W

òò

y=

òò

W

W

3. La distancia del eje al centro geométrico es

dist ( eje, ( x , y ) ) = dist ( ax + by + c = 0, ( x , y ) ) =

W

y

òò 1
W

ax + by + c
a 2 + b2

(Si en la ecuación de la recta se tiene que a = 0 entonces en la expresión de la distancia no
interviene el valor x y no hace faltasu cálculo. Lo mismo ocurre si b = 0 ya que entonces no hace
falta calcular y )
4. Finalmente, el volumen del sólido de revolución es

V = 2p ⋅ dist ( eje, ( x , y ) ) ⋅ W

Matemáticas
de
-U
to

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

1
x=
W

z - Departam
en
che
án

2. Calcular el área W y el centro geométrico ( x , y ) de W donde, si no se conocen por motivosgeométricos, se deben hacer los cálculos

1

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

z - Departam
en
che
án

Si se hace girar una figura plana W alrededor de un eje que no la atraviesa,
se obtiene un sólido de revolución, cuyo volumen y superficie vienen dados
por

a - Fernando
ur
S
ad
m

El teorema de Pappus

sidad de Ext
re
ver
i
n

V = 2p ⋅ x ⋅5⋅ 2
20p
= 10p ⋅ x =
2
3

puesto que el valor de x es

2

x =

1
W

òò

1 2 -25 x +5
1 2
2
ò0 ò0 x d y dx = 5 ò0 x ( -25 x + 5 ) dx = 3 .
5

x =

W

Para un cono de altura 1 cuya base tenga radio 1 el volumen que se obtiene p 3 . Siempre la
tercera parte del cilindro que se forma con las mismas dimensiones.
Ejemplo. El volumen de una semiesfera de radio R es elresultado de hacer girar un cuarto de
círculo del mismo radio alrededor de un diámetro. Así, el volumen de la esfera es
R

p
2

Matemáticas
de
-U
to

V

= 2 ⋅ 2p ⋅ x ⋅ W = 4p ⋅ òò x d x d y = 4p ⋅ ò
W

0

ò0

r 2 cos ( a ) d a dr

4
= 4p ⋅ ò r 2 dr = p R 3
0
3
R

donde W es el cuarto de círculo de radio R situado en el primer cuadrante, cuyos límites de
integración son 0 £r £ R, 0 £ a £ p 2
Ejemplo. Calcular el volumen del sólido que se obtiene al
hace girar el cuadrado W = [ 1, 2 ]´[ 0,1 ] alrededor de la
recta que une los puntos ( 0,1 ) y ( 1, 2 ) .

sidad de Ext
re
ver
i
n

a ⋅ 0 + b ⋅1 + c = 0
a ⋅1 + b ⋅ 2 + c = 0

Al resolver este sistema se obtiene la recta y = x + 1 . La
distancia de esta recta al centro geométrico ( x , y ) es

dist (...