TM11Dav

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David L. Monroy Gil
Teor´ıa de la Medida
TM11) Sean X = N y S = P(X). Prueba que toda medida en (X, S) se
obtiene a partir de una u´nica sucesi´on de reales extendidos no negativos {an }
como sigue:

si E = φ;
 0,
µ(E) =
an , si E = φ.

n∈E

Demostraci´
on:
Sea µ : S −→ Runa medida en (X, S). Para cada n ∈ N, sea {En } ⊂ S dada
por En = {n}.
Definamos an = µ(En ), para todo n ∈ N. Notemos que:
i) an ≥ 0,∀n ∈ N; ya que µ es medida.

ii) {an } es una sucesi´on de reales extendidos, pues µ : S −→ R. Adem´as
no negativos pues µ es medida.
iii) En= Em ⇐⇒ {n} = {m} ⇐⇒ n = m.
iv) {En } ⊂ S, es una sucesi´on de elementos disjuntos.
v) Si E ∈ S con E = φ, entonces E =

En .
n∈E

Entoncespara cada E ∈ S con E = φ:
µ(E) = µ

En ,

por v).

n∈E

=

µ(En ),

por iv) y por ser µ medida.

n∈E

=

an ,

por definici´on de µ.n∈E

Y para E = φ, tenemos que µ(E) = µ(φ) = 0.

si E = φ.
 0,
∴ µ(E) =
an , si E = φ.

n∈E

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Ahora hay que probar la unicidad de {an }.Supongamos que existe {bn } ⊂ R
una sucesi´on de reales extendidos no negativos tal que:

si E = φ.
 0,
µ(E) =
bn , si E = φ.

n∈EAfirmaci´
on: {an } = {bn }, ∀n ∈ N.
Sea n ∈ N,
Por un lado, µ(En ) = an .
Por otro lado, µ(En ) =
bm =
m∈En

bm = bn .

m∈{n}

Entonces, an =µ(En ) = bn .
∴ {an } = {bn },

∀n ∈ N.

∴ {an }es la u
´nica sucesi´on de reales extendidos no negativos que cumplen lo pedido.

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