Tmerospaprinci

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Teor´ıa de n´umeros
[para principiantes]

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Teor´ıa de n´umeros
[para principiantes]

Luis R. Jim´enez B.
Jorge E. Gordillo A.
Gustavo N. Rubiano O.
Profesores

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´a

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vi, 284 p. : 3 il.
ISBN 958-701-372-7
QA241.

1.Teor´ıa de n´
umeros
Luis R. Jim´enez B.,
Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.

´ meros [para principiantes], 2a. edicio
´ n.
Teor´ıa de nu
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´
a.
Facultad de Ciencias, 2004
Mathematics Subject Classification 2000: 11-01.
c Edici´
on en castellano: Luis R. Jim´enez B., Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
Universidad Nacional de Colombia.

Primeraimpresi´
on, 2004
Impresi´
on:
Pro–Offset Editorial Ltda.
Bogot´
a, D. C.
COLOMBIA

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´Indice General

Pr´
ologo

1 N´
umeros Naturales

ix
1

1.1

Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Adici´
on de n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Multiplicaci´
on de n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . .

51.4

Orden entre n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Construcci´
on de los n´
umeros enteros . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6

Formas equivalentes al principio de inducci´
on
matem´
atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Divisibilidad

25

2.1

Propiedades b´
asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

M´
aximo Com´
unDivisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

v

vi

´INDICE GENERAL

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A
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G B
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R
2.3

Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4

Propiedades del M´
aximo Com´
un Divisor . . . . . . . . . . . .

33

2.5

M´ınimo Com´
un M´
ultiplo y generalizaciones . . . . . . . . . .

39

2.6

Teorema fundamental de la aritm´etica . . . . . . . . . . . ..

46

2.7

Algunas propiedades de los n´
umeros primos . . . . . . . . . .

51

2.8

Algunas ecuaciones diof´
anticas . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3 Funciones Aritm´
eticas

64

3.1

La funci´
on parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.2

Las funciones n´
umero y suma de divisores . . . . . . . . . . .

70

3.3

N´
umeros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . .. . . . .

74

3.4

La funci´
on Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.5

Funciones multiplicativas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.6

La f´
ormula de inversi´
on de M¨
obius . . . . . . . . . . . . . . .

90

4 Congruencias

98

4.1

Definici´
on y propiedades b´
asicas . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2

Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 104

4.3

Aritm´etica m´
odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4

Los Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5

Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6

Ecuaciones Diof´
anticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.7

Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . .. . . 127

4.8

El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

´INDICE GENERAL

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4.9

vii

Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.10 Congruencias con m´
odulo una potencia de un primo . . . . . 140
4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5 Residuos cuadr´
aticos

153

5.1Congruencias de segundo grado con m´
odulo primo . . . . . . 153

5.2

Ley de la reciprocidad cuadr´
atica . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.3

El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.4

Potencias m´
odulo n y ra´ıces primitivas . . . . . . . . . . . . . 172

5.5

´
Algebra
y teor´ıa de n´
umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6 Criptograf´ıa

194...