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GEOMETRÍA DEL TETRAEDRO
Francisco Bellot Rosado
1. Bibliografía
Valeri V. Vavilov : Geometría del tetraedro (manuscrito privado)
Nathan Altshiller Court : Modern Pure Solid Geometry, Chelsea 1964.
Dan Branzei, Sebastian Anita, Constantin Cocea : Planul si spatiul euclidean
(en rumano), Ed. Academiei, Bucarest 1986.
Mihai Miculita, Dan Branzei : Analogii Triunghi-tetraedru (en rumano),
EdituraParalela 45, Pitesti, 2000.
Dan Branzei : Notes on Geometry, Ed. Paralela 45, Pitesti 1999.
Georgi Pascalev, Ivan Chovanov : Puntos notables del tetraedro (en búlgaro), Narodna Prosveta, So…a 1988.
F.Bellot : Círculos y esferas de Lucas, comunicación presentada en la Conferencia de la WFNMC, Melbourne 2002.
Y.Sortais, R. Sortais : Géométrie de l’espace et du plan, Hermann, Paris,
1988.V.Prasolov,I.Sharigin : Zadachi po stereometrii (en ruso), Nauka, Moscú
1989.
Revistas
The Mathematical Gazette (UK):
R.T.Robinson : The tetrahedron and a twelve-points sphere; vol.XIV, no.198,
January 1929, pp.296-299.
F.O’Hara : A 24-points sphere for the orthocentrical tetrahedron; vol.LVI,
no.398, December 1972, pp.295-298.
Mathesis (Bélgica; desaparecida en 1962); entre 1922 y 1962 he entresacado
22referencias sobre el tetraedro, pero hay bastantes más.
G.Cairns,M.McIntyre,J.Strantzen : Geometric Proofs of some recent results
of Yang Lu, Mathematics Magazine, vol.66,no 4, oct.1993,p.263-265.
2.Introducción
La geometría del triángulo, hoy prácticamente en grave peligro de extinción,
tiene su continuación natural en el espacio tridimensional en el estudio de las
propiedades del poliedro más simple,el tetraedro. El hecho de que los mecanismos articulados sean objetos tridimensionales me sugirió la idea de desarrollar
algunas propiedades del tetraedro, que espero no sean del todo conocidas. Algunas de ellas serán la generalización de las correspondientes del triángulo, pero
hay otras bastante diferentes.
En lo que sigue, ABCD será un tetraedro, de aristas
BC = a; CA = b; AB = c; DA = a0 ; DB= b0 ; DC = c0 :
BC y DA son aristas opuestas; lo mismo que CA y DB, AB y DC.
d
El ángulo diedro de arista AB se denotará AB:
El ángulo triedro de vértice A se denotará, cuando no haya lugar a confusión,
b
por A:
1

El área de la cara ABC se denotará por SABC = SD :
El plano BCD, es decir, la cara opuesta al vértice A, se denotará por Af :
Algunas de…niciones :
Mediana : une un vértice con elbaricentro de la cara opuesta.
Bimediana : une los puntos medios de dos aristas opuestas.
Bialtura: es la perpendicular común a dos aristas opuestas.
Altura: es la perpendicular trazada desde un vértice a la cara opuesta.
Bisectriz : es la intersección de dos planos bisectores de diedros que tienen
una cara común.
Un primer resultado que se diferencia del caso del triángulo es que,
en general, lasalturas de un tetraedro no se intersecan en un punto.
Cuando las alturas no son concurrentes, son las generatrices de un hiperboloide alabeado.
Tetraedros especiales : por las propiedades de las caras
Tetraedro isofacial : es la pirámide triangular regular ; una cara es un
triángulo equilátero y las otras tres son triángulos isósceles.
Tetraedro equifacial : las caras son triángulos de la mismaárea; esto equivale
a que tengan perímetros iguales y a su vez, que sean triángulos iguales.
Tetraedro regular : sus cuatro caras son triángulos equiláteros.
Tetraedro trirrectángulo : tres de sus caras son triángulos rectángulos con
un vértice común.
Por las aristas :
Tetraedro equifacial : sus aristas opuestas son iguales.
Tetraedro ortocéntrico : Las sumas de los cuadrados de aristas opuestas soniguales.
Tetraedro de Crelle ( o esqueleto, según la tradición escolar rusa) : las sumas
de aristas opuestas son iguales.
Tetraedro isodinámico : Los productos de aristas opuestas son iguales.
Algunas propiedades generales del tetraedro.
- Las bimedianas concurren en el centro de gravedad G del tetraedro, que es
el punto medio de cada bimediana.Las medianas también son concurrentes en
este...