Tony.doc

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Una función continua provee la expresión matemática de la situación muy frecuente de que a «incrementos
pequeños» de la variable independiente corresponden «incrementos pequeños» de la variabledependiente. Ejemplos de esta situación vienen dados por las leyes que gobiernan el movimiento
de los cuerpos, leyes que a menudo están dadas por fórmulas del tipo s = f(t) (que expresan la distancia
sdependiente del tiempo t). Debido a que el tiempo y la distancia «son continuos», una ley
de movimiento, s = f(t), establece entre ellos una relación continua caracterizada por el hecho que
a unincremento pequeño del tiempo corresponde, como mencionamos antes y reiteramos aquí, un
incremento pequeño de la distancia.

11.3 Tipos de discontinuidad
La función f(x) =
1
x
provee un ejemplode función discontinua en el punto 0. En este caso observamos
que la función está definida en toda la recta real salvo en 0, de modo que la función está definida en
cualquier intervalo que contieneal punto 0 excepto en el punto 0 mismo. Aquí la condición que falla
es que 0 pertenezca al dominio de la función. En cualquier otro punto c 6= 0 tenemos que
lim
x!c
1
x
=
1
c
En efecto, si c6= 0 entonces jcj > 0, i.e., la distancia de c a 0 es la cantidad positiva jcj, y podemos
restringir la atención a aquellos puntos x en el intervalo _c jcj
2
; c+ jcj
2 _:
Este intervalo es de laforma _c
2
;
3c
2 _ o _3c
2
;
c
2_, según sea c > 0 o c < 0, respectivamente, así
que la distancia de cualquiera de sus puntos al punto 0 es mayor que jcj
2
, ver figura 11.10 en la página170 . Luego, para x en el intervalo, es
____
1
x
1
c____
= j x c j
j x j j c j
<
2
c2 j xc j :
Por tanto, dado cualquier " > 0, basta elegir _ = min_jcj
2
;
c
2
"
2 _paragarantizar que si j x c j< _
entonces____
1
x
1
c____
< ". De la discusión anterior sigue que f(x) =
1
x
es continua en R n f0g.
La función g(x) = jxj
x
sirve como otro ejemplo de función...
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