TOPOPGRAFIA

ANTECEDENTES
CONCEPTOS BÁSICOS
DEL ANÁLISIS VECTORIAL
1. El campo de los números reales
El conjunto de los números reales, denotado por  , se define partiendo del concepto de las estructuras
algebraicas de Grupo Abeliano, Anillo y Campo, mediante axiomas o postulados para las operaciones binarias
de suma y multiplicación. El campo  es, por lo tanto, un conjunto de elementos llamadosescalares, que
satisfacen las propiedades siguientes.

Definición:
1.1 Para la operación de suma
1.1.1 Axioma de cerradura
Para todo a, b   ; a  b   , por lo tanto  es cerrado con respecto a la suma.
1.1.2 Axioma de asociatividad
Para todo a, b, c   ; (a  b)  c  a  (b  c)
1.1.3 Axioma de existencia del elemento idéntico u (también llamado elemento neutro aditivo z  0 )
Existe u  tal que, para todo a   ; a  u  u  a  a implica que u  0

ˆ
1.1.4 Axioma de existencia del elemento inverso aditivo a

ˆ ˆ
ˆ
Existe a   tal que, para todo a   , a  a  a  a  u
ˆ
como u  0 implica que a   a

( a es el negativo de a )

1.1.5 Axioma de conmutatividad
Para todo a, b   ; a  b  b  a
El conjunto de los números reales  forma un GRUPO ABELIANO conrespecto a la suma.

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JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE

1.2 Para la operación de multiplicación
1.2.1 Axioma de cerradura
Para todo a, b   ; a b   , por lo tanto  es cerrado con respecto a la multiplicación.
1.2.2 Axioma de asociatividad
Para todo a, b, c   ; (a b) c  a (b c)
1.2.3 Axioma de distributividad de la segunda operación de multiplicación con respecto a laprimera
operación de suma, tanto por la izquierda como por la derecha.
Para todo a, b, c   se tiene que:
a) a (b  c)  ab  ac por la izquierda
b) (b  c) a  ba  ca por la derecha
La estructura de los números reales  satisface las propiedades para formar un ANILLO.
1.2.4 Axioma de conmutatividad
Para todo a, b   ; ab  ba
Se tiene la estructura llamada ANILLO CONMUTATIVO.
1.2.5Axioma de existencia del elemento idéntico v
Existe v   tal que, para todo a   ; a v  v a  a implica que v  1
Se tiene la estructura llamada ANILLO CONMUTATIVO CON UNIDAD.

ˆ
1.2.6 Axioma de existencia del elemento inverso multiplicativo b
ˆ
ˆ ˆ
Existe b   tal que ; para todo b   , b b  b b  v

ˆ 1
como v  1 implica que b 
b

ˆ
( b es el recíproco de b , tambiénrepresentado como b 1 )

Se tiene la estructura algebraica llamada CAMPO que satisface los once axiomas mencionados.
De hecho podemos decir con mayor sencillez que para que los números reales formen la estructura
algebraica llamada campo o cuerpo, deben de satisfacerse para las operaciones ordinarias de suma y
multiplicación los 6 axiomas siguientes:
1. Cerradura,
2. Asociatividad,
3. Existencia delos elementos idénticos,
4. Existencia de los elementos inversos,
5. Conmutatividad,
6. Distributividad de la multiplicación de un elemento con respecto a la suma de dos de ellos.

ANTECEDENTES

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS VECTORIAL

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Observación: Al elemento idéntico para la operación suma le asignamos el nombre de elemento cero del
campo, lo denotamos con la letra z y notiene inverso multiplicativo. Al elemento idéntico para la segunda
operación (multiplicación) le llamamos elemento unidad y lo denotamos con la letra v .
Ejemplo 1 Dado el conjunto de los números reales  , indicar detallada y ordenadamente (en forma
numérica) las propiedades que debe satisfacer para formar la estructura de campo.
Para la operación de suma (  ) consideremos, por ejemplo, a losnúmeros 2,3, 4  
1. Cerradura

2  3  5 , 5  , por lo tanto  es cerrado con respecto a la suma.
2. Asociatividad

(2  3)  4  2  (3  4)
(5)  4  2  (7)
99
3. Existencia del elemento idéntico u
Existe u   tal que, 2  u  u  2  2 implica que, u  0

ˆ
4. Existencia del elemento inverso aditivo a
ˆ
ˆ ˆ
Existe a   tal que, 2  a  a  2  u
ˆ
como u  0 implica...