Tr 3d

Demostración de la contracción del espacio en las tres direcciones.

Para poder demostrar la contracción del espacio en sus tres dimensiones vamos a recurrir al
sistema mas básico que es un haz de luz entre dos espejos. El ejemplo clásico que se usa para
demostrar la dilatación del tiempo y contracción del espacio aplicando únicamente el teorema
de Pitágoras. La demostración la haré de dosmaneras matemáticamente y geométricamente.

Para no complicar la demostración trabajaremos en dos dimensiones para demostrar que
además de contraerse en la dirección del movimiento también se contrae en la dirección
perpendicular al movimiento, y una vez obtenida la demostración en una dirección
perpendicular al movimiento es fácil de demostrar que ha de cumplirse en la otra dirección
quedando entoncesdemostrado para ambas direcciones normales al movimiento.
Antes de empezar debemos repasar unas propiedades de los triángulos y del teorema de
Pitágoras.

h  a2  b2 teorema de Pitágoras

Podemos construir un triangulo proporcional a otro, simplemente multiplicando los tres lados
por el mismo numero que llamaremos “k”. de esta manera tendremos un triangulo semejante
y donde se cumple :
Triangulotriángulo semejante

a

h

ka

kh

b
b

h  a 2  b2

b
kb

kh  (ka)2  (kb) 2  k a 2  b 2 , h  a 2  b 2

Esto quiere decir que si aumento uno o dos lados del triangulo un valor K no tendré un
triangulo semejante al primero. Para que sea semejante al primero K a de ser la proporción de
cada uno de los tres lados. Sino es así tendremos otro triángulo pero no semejante al primer
triángulo.
Seque esto es muy básico pero llegado el momento será muy importante tenerlo claro.

Empecemos
Tenemos un haz de luz entre dos espejos, lo observaremos en el instante que el haz de luz va
desde el espejo inferior al superior, además este sistema tiene una velocidad constante “v”
muy próxima a la velocidad de la luz. Además como en todos estos ejemplos, tenemos otro
haz de luz entre dos espejos enreposo, el haz de luz de cada sistema están perfectamente
sincronizados entre si.

Sincronizamos ambos sistemas. La distancia entre espejos “a”

A

B

Sistema A vamos a dejarlo en reposo
Sistema B vamos acelerarlo hasta situarlo a una velocidad “v” constante muy próxima a la
velocidad de la luz c .
Vamos a ir paso a paso.
Recordemos que :

t   t´ dilatación del tiempo t sistema en reposo A y t´sistema B en movimiento t > t´

l   l´ contracción del espacio l sistema en reposo A y l´ sistema B en movimiento
Siendo  

l >l´

1
1

v2
c2

Admitimos la dilatación del tiempo y la contracción del espacio en la dirección del movimiento
con lo cual la demostración no contradice la teoría de la relatividad sino que se complementa
con ella -muy importante-.
Vamos a comparar los sistemas en dosinstantes muy concretos:
Cuando en el sistema A (en reposo) el haz de luz toque el espejo superior (fig-1)
Cuando en el sistema B (en movimiento) el haz de luz toque el espejo superior (fig-2)

La distancia entre espejos recordemos que era “a” .si queremos ver lo que sucede en esta
dirección es necesario ampliar el valor de “a” es decir que “a” sea lo suficientemente grande
para poder entender loque ocurre en esta dirección perpendicular al movimiento.
El hecho de ampliar el valor de “a” para poder ver lo que sucede ahí, no implica que la
contracción en esta dirección vaya a ser pequeña y necesitemos aumentar para poder
identificarla, como veremos mas adelante tendrá el mismo valor que en la dirección del
movimiento.

Analizamos la figura-1:

vt
ct

ct´
ct
A

B

Fig-1

Como podemos veren la fig-1 en el sistema A el haz de luz toca el espejo superior. En ese
instante el haz de luz en el sistema B se dirige hacia el espejo superior pero aún no ha llegado.
Un pequeño inciso -pocas veces habrás visto el sistema B representado así, normalmente lo
dibujan tocando el haz de luz el espejo superior, cosa que produce muchas veces errores de
concepto o de desarrollo matemático.Podemos...