trabajo de fisica

INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍA
Curso Académico 2011-12
2011-

Rafael Muñoz Bueno
Laboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMM-ETSIILMM-ETSII-UPM

TEMA 4.

Cuantificación y propagación de la incertidumbre

Índice
1. Concepto de incertidumbre típica combinada.
2. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).
3. Incertidumbre expandida
4. Supuesto práctico de la evaluaciónde incertidumbres.

Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Concepto de incertidumbre típica combinada
La incertidumbre típica de y (siendo y la estimación del mensurando Y)
es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendo
apropiadamente las incertidumbres típicas de las estimaciones de
entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre típica combinada de la
estimacióny se nota como uc(y).

Y = f ( X 1 , X 2 ,... X N ) ⇒ y = f ( x1 , x2 ,...x N )
Incertidumbre típica

uc ( y ) = f [u ( x1 ), u ( x2 ),...u ( x N )]
Incertidumbre típica combinada
Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagación de incertidumbres (i)

Y = f ( X 1 , X 2 ,... X N ) ⇒ y = f ( x1 , x2 ,...x N )
Desarrollo en serie de Taylor de primer ordentorno al valor esperado, y gracias a
las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) llegamos a:

 ∂f 
2
uc ( y ) = ∑ 

i =1  ∂X i 
N

2

∂f
u ( xi ) + 2∑ ∑
i =1 j =i +1∂X i
2

xi

N −1

N

xi

∂f
∂X j

u ( xi , x j )
xj

LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagaciónde incertidumbres (ii)
Consideraciones (i)
2

N −1 N
 ∂f  2
∂f ∂f
2
uc ( y ) = ∑   u ( xi ) + 2∑ ∑
u ( xi , x j )
i =1  ∂xi 
i =1 j =i +1∂xi ∂x j
N

Magnitudes de entrada no correlacionadas
Magnitudes de entrada correlacionadas

Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagación de incertidumbres (iii)
Consideraciones (ii)
Magnitudes de entradano correlacionadas
Ej. Determinación de una longitud a una temperatura t habiendo realizado la
medida a temperatura t0: L = L0 [1+α (t-t0)]
o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocida
o La longitud L0 se mide con una cinta métrica
o La temperatura se mide con un sensor de temperatura

Magnitudes de entrada correlacionadas
Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido:ρ = m/V

o La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patrón
o El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando las
mismas masas patrón
Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagación de incertidumbres (iv)
Consideraciones (iii)

2

N −1 N
 ∂f  2
∂f ∂f
2
uc ( y ) = ∑   u ( xi ) + 2∑ ∑
u ( xi , x j )
i =1  ∂xi 
i =1 j =i+1∂xi ∂x j
N

Trataremos sólo el caso de magnitudes
de entrada no correlacionadas
Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagación de incertidumbres (v)
2

 ∂f  2
u ( y ) = ∑   u ( xi )
i =1  ∂xi 
N

2
c

Donde:

f
u(xi )
uc(y)

≡
≡
≡

Función de transferencia o función modelo;

Y= f (X1,X2,…, XN )

Incertidumbre típica evaluada(tipo A o tipo B)
Incertidumbre típica combinada

La incertidumbre típica combinada es una desviación típica estimada y
caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente
atribuidos al mensurando Y.

Introducción a la Metrología

Curso Académico 11-12

Ley de propagación de incertidumbres (vi)
2

 ∂f  2
u ( y ) = ∑   u ( xi )
i =1  ∂xi 
N

2
c

∂f
∂xiEstas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen
cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los
valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN

En general, la variación de y producida por una pequeña variación ∆xi en la
estimación de entrada xi viene dada por:
∂f

( ∆y ) i =

∂xi

( ∆xi )

Si esta variación es...