transformaciones

Transformaciones Lineales
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
16 de abril de 2009

´
Indice
21.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
21.2. Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3. Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . .
o
21.4. Geometr´ de las transformaciones lineales . .
ıa
21.5. Linealidad en una condici´n . . . . . . . . . .
o21.6. Hechos que cumple una transormaci´n lineal
o
21.7. Conceptos relativos a funciones . . . . . . . .
21.8. Im´genes de espacios generados . . . . . . . .
a

21.1.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
6
7
8
9
9

Introducci´n
o

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicaci´n por escalares.
o

21.2.

Idea

En los cursos b´sicosrelativos a ecuaciones vimos que la soluci´n a la ecuaci´n
a
o
o
f (x) = 0
podr´ entenderse como los puntos donde la gr´fica de la funci´n f (x) corta el eje de las x’s:
ıa
a
o

1

−1
−1

1

2

−2
esta forma de ver a una ecuaci´n permite entonces resolver ecuaciones de la forma:
o
f (x) = a
en este caso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos donde la gr´ficade la funci´n f (x) corta
a
o
la l´
ınea horizontal y = a:

1

−1
−1

1

2

−2
Esta idea de corte de la gr´fica de f (x) con la recta y = a da pie a m´todos gr´ficos de soluci´n de ecuaciones
a
e
a
o
y tambi´n permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce f´cilmente
e
a
o
que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientrasque 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´n:
3
2
1
−1

1

−1
−2
−3

2

En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene soluci´n debido a que 1 est´ en el rango de la funci´n; mientras
o
a
o
que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´n porque 3.5 no lo est´. El rango de la funci´n est´ marcado en el
o
a
o
a
eje y como un segmento de l´
ınea magenta. En general, elsiguiente resultado se tiene:
Teorema
La ecuaci´n
o
f (x) = a
tiene soluci´n si y s´lo si a est´ en el rango de f (x).
o
o
a
Nosotros usaremos el concepto de la funci´n para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La
o
restricci´n que haremos ser´ sobre el tipo de funciones: s´lo estaremos interesados en funciones que preserven
o
a
o
las operaciones en el espaciovectorial. Este tipo de funciones ser´n llamadas funciones lineales. Primeramente
a
las definiremos, veremos algunas propiedades generales y despu´s veremos c´mo se aplican estos resultados a
e
o
sistemas de ecuaciones.

21.3.

Transformaci´n Lineal
o

Definici´n 21.1
o
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´n lineal o mapeo lineal
o
de V a W es unafunci´n T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier
o
escalar c:
T (u + v) = T (u) + T (v)
T (c u) = c T (u)

2

Ejemplo 21.1
Demuestre que la tranformaci´n T : R2 →R2 definida por
o
T

x
y

x + 3y
x + 2y

=

es lineal.
Soluci´n
o
Sean u =

x1
y1

yv=

x2
y2

.

Entonces
T (u + v) = T

x1
y1

x2
y2

+

=T

=

(x1 + x2 ) + 3...