Triconometria

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Tricotomía
En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puededecir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.[1]

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .
Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al medioel cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación , es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.
Por ejemplo
Si y , entonces
La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es unnúmero real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de .
Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

Axioma del supremo
Todo conjunto no vacío y acotado superiormenteposee un supremo.
Observaciones
Se puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormente pose ínfimo. En efecto, basta
verificar que inf(A) = −sup(−A).
No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo. En efecto (−1, 5) no tiene máximo pero sí supremo.
Para ilustrar una de las aplicaciones del axioma del supremo, vamos a definir la parte entera de un real x > 0.
ParteEntera
La parte entera de un real x > 0, se definirá como el supremo del conjunto A = {n 2 N : n _ x} .Esto está bien definido pues el conjunto A es acotado superiormente por x y además 0 2 A. Por lo tanto por el axioma del supremo, el conjunto A posee supremo. Este supremo será denotado por [x] y se llamará cajón inferior de x o parte entera de x.
Ejemplo:
La parte entera del real 3, 5 es:[3, 5] = 3.
Ahora veamos que [x] es un número natural.
Como [x] = sup(A), el real [x] − 1
2 , no puede ser una cota superior de A. Luego debe existir un elemento n0 en
A tal que [x] − 12 < n0. Por otra parte, como [x] es una cota superior de A se tiene que n0 _ [x] .
Veamos que n0 es una cota superior de A. Esto lo tendremos si todo natural n que sea mayor estricto que n0, no pertenece a A.Si n > n0, se deduce que n _ n0 + 1. Pero sabemos que n0 + 1 > [x] + 12
. Con esto tenemos que n > [x] + 12 > [x]. Por lo tanto, n es mayor que el supremo de A y entonces n /2 A. Con esto concluimos que n0 es una cota superior de A. Como n0 2 A, concluimos que es un máximo y por ende es igual a [x] .
Construcción axiomática
Artículo principal: Axiomas de los números reales
Elconjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las siguientes proposiciones:
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)
6.Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)
9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)
10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)
12. Si ,...
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