Ufro

U.A.H. “Actualización de Conocimientos de Matemáticas para…”
José María Martínez Mediano
1
Tema 4B. Inecuaciones
1. Introducción
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante las
operaciones algebraicas. Los signos de desigualdad son: , ≥
Las inecuaciones se clasifican por su grado y por su número de incógnitas.
• Soluciones de unainecuación son los valores de la(s) incógnita(s) que cumplen la desigualdad. En
las inecuaciones con una incógnita el conjunto de soluciones suele darse mediante intervalos. En las
inecuaciones con dos incógnitas, el conjunto de soluciones suele ser una región del plano.
Resolver una inecuación es encontrar sus soluciones. Para resolver una inecuación hay que despejar
la incógnita. Para ellohay que tener en cuenta las siguientes propiedades:
1. A < B ⇔ A + n < B + n. También: A − n < B − n
2. A < B ⇔ A · n < B · n, si n > 0. También: A/n < B/n, si n > 0
3. A < B ⇔ A · n > B · n, si n < 0. También: A/n > B/n, si n < 0
OJO: Si se multiplica (o divide) por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:

Observa:
3 < 5 (multiplicando por 6)⇒ 18 < 30
3 < 5 (multiplicando por −6) ⇒ −18 > −30 (se cambia < por >)

Igualmente:
2 8
2
x < (dividiendo por 2) ⇒ 4
2
x < .
− x +1 < −2x (multiplicando por −1) ⇒ − (−x + )1 > 2x ⇔ 2x < x −1.
Menor que 0 y mayor que 0 en productos y cocientes
Muchas veces interesa conocer sólo el signo de una expresión algebraica. Esto es, saber cuándo es
menor que cero (negativa) ocuándo es mayor que cero (positiva). El mejor procedimiento, salvo en
casos inmediatos, consiste en descomponer dicha expresión en factores y, después, tener en cuenta
las reglas de los signos:
(+) · (−) = (−) < 0 (+) · (+) = (+) > 0
(−) · (+) = (−) < 0 (−) · (−) = (+) > 0
(+) : (−) = (−) < 0 (+) : (+) = (+) > 0
(−) : (+) = (−) < 0 (−) : (−) = (+) > 0
Pueden presentarse lossiguientes casos:
• Producto A · B < 0 ⇔



> <
< >
A 0 y B 0
A 0 y B o 0,
(Un factor es positivo y otro negativo.)
• Producto A · B > 0 ⇔



> >
< <
A 0 y B 0
A 0 y B o 0,
(Los dos factores tienen el mismo signo.)
Ejemplos:

La expresión 2x > 0 cuando x > 0. Análogamente, 2x < 0 si x < 0.

0
2
x > para todo x ∈ R. En consecuencia, 0
2− x < siempre.

Por lo mismo, 0 ( )1
2
x x − > cuando x − 1 > 0; esto es, si x > 1. U.A.H. “Actualización de Conocimientos de Matemáticas para…”
José María Martínez Mediano
2
• Cociente 0
B
A
< ⇔



> <
< >
A 0 y B 0
A 0 y B o 0,
(Los dos términos con distinto signo)
• Cociente 0
B
A
> ⇔



> >
< <
A 0 y B 0
A 0 y B o 0,
(Los dostérminos con el mismo signo)
Ejemplos:

El signo de las expresiones
x
1
,
2
1
x
o
3
1
x
−
sólo depende del denominador. Así:
x
1
< 0 si x < 0;
x
1
> 0 si x > 0. Obsérvese que
x
1
nunca vale 0.
2
1
x
> 0 siempre, pues el denominador siempre es positivo.
3
1
x
−
< 0 si x > 0 → [(−) : (+) = (−)].
3
1
x
−
> 0 si x < 0 → [(−) : (−) = (+)].

0
2
1
>
+
−
x
x
cuando x – 1 > 0 y x + 2 > 0 → [(+) : (+) = (+)] ⇒ x > 1.
También, cuando x – 1 < 0 y x + 2 < 0 → [(–) : (–) = (+)] ⇒ x < –2

El signo de las expresiones
2
3
x
x −
o de
2
2
( )2
1
+
−
x
x
sólo depende del numerador, pues el
denominador siempre es positivo, salvo en x = 0 y x = −2, respectivamente, en donde dichas
expresiones no estándefinidas. Así:
2
3
x
x −
= 0 si x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
2
3
x
x −
> 0 si x > 3;
2
3
x
x −
< 0 si x < 3.
2
2
( )2
1
+
−
x
x
= 0 si 1 0
2
x − = ⇒ x = ±1;
2
2
( )2
1
+
−
x
x
> 0 si x < −1 o x > 1;
2
2
( )2
1
+
−
x
x
< 0 si −1 < x < 1.
2. Inecuaciones de primer grado
Son de la forma ax + b < c . El signo < puede sustituirse por >, ≤ o ≥.
Para...