Uni8

8

LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD

Página 221
REFLEXIONA Y RESUELVE
Algunos límites elementales
■

Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes límites:
a) lím x 2,
x 8 +@

b) lím x 2,
x 8 –@

c) lím x 2,

x 8 +@

lím x 3,

x 8 –@

lím x 3,

x82

d) lím

lím x 3,

x 8 +@

x82

1
,
x

lím
x 8 +@

1
,
x2

1
,
x 8 –@ x

1
2,
x 8 –@ x

1
,
x80x

lím

e) lím

f ) lím

g) lím

x 8+@

h) lím

x 8 –@

lím

x80

1
,
x2

x3
,
+1

x 3 – 5x 2
2
x 8 +@ x + 1

x3
,
+1

x2
x 8 – @ 3x + 5

x2
x2

a) lím x 2 = +@;
x 8 +@

b) lím x 2 = +@;
x 8 –@

c) lím x 2 = 4;
x82

lím x 3 = +@;

x 8 +@

lím x 3 = –@;

x 8 –@

lím x 3 = 8;

x82

x 8 +@

e) lím

1
= 0;
x

1
2 = 0;
x
x 8 –@

Unidad 8. Límites de funciones. Continuidad

lím (x 3 – 5x 2 + 3)

x82

lím

x 8 +@ x

lím
x 8 –@

lím
x80

x+1

2

x
+1

x2

x
+1

x2

lím

1
= 0;
x

x 8 –@

lím (x 3 – x 2 )

x 8 –@

lím

d) lím

x 8 +@

lím (x 3 – 3x 2 )

x 8 +@

lím

lím

1
= 0;
x2

lím (x 3 – 3x 2 ) = +@

x 8 +@

lím (x 3 – x 2 ) = –@

x 8 –@

lím (x 3 – 5x 2 + 3) = –9

x82

lím
x 8 +@

x
=0
+1

x2

x
2 +1 = 0
x
x 8 –@
lím

1

f ) lím

x80

1
= +@;
x

g) lím

x 8 +@

h) lím

x 8 –@

lím
x80

x3
= +@;
+1

1
= +@;
x2

lím
x80

x
=0
x2+ 1

x 3 – 5x 2
= +@
2
x 8 +@ x + 1
lím

x2

x3
= – @;
x2 + 1

lím
x 8 –@

x2
= –@
3x + 5

Exponenciales y logarítmicas
Recuerda cómo son las gráficas de algunas funciones exponenciales y logarítmicas:

y = log2 x

( )

y = 2x

1 x
y = 2–x = —
2

y = log1/2 x

■

A la vista de estas gráficas, asigna valor a los siguientes límites:
a) lím 2x,
x 8 –@

b) lím 2 –x,
x 8 –@

lím 2x

x 8 +@

lím 2 –x

x8 +@

c) lím log2 x, lím log2 x,
x 8 –@

x80

lím log2 x

x 8 +@

d) lím log1/2 x, lím log1/2 x,
x 8 –@

a) lím 2 x = 0,
x 8 –@

x80

lím 2 x = +@

x 8 +@

b) lím 2 –x = +@,
x 8 –@

lím 2 –x = 0

x 8 +@

c) lím log2 x no existe,
x 8 –@

d) lím log1/2 x no existe,
x 8 –@

2

lím log1/2 x

x 8 +@

lím log2 x = – @,

x 8 0+

lím log2 x = +@

x 8 +@

lím log1/2 x = +@,

x 8 0+

lím log1/2 x = – @

x8 +@

Unidad 8. Límites de funciones. Continuidad

UNIDAD

8

Con calculadora
Tanteando con la calculadora, da el valor de los siguientes límites:
a) lím

x80

sen x
x

b) lím (x – 3) · ln (x – 3)
x83

c) lím

x 8 +@

(

1+

a) lím

x80

3
x

)

2x

senx
x

=1

b) lím (x – 3) · ln (x – 3) = 0
x83

c)

lím

x 8 +@

(

3
x

1+

)

2x

= e6 › 403,43

Página 222
1. Asigna límite (finito o infinito) alas siguientes sucesiones e identifica a las
que no tienen límite:
a) an = n 3 – 10n 2
e) en = sen

π
n
4

n+5
2–n

b) bn = 5 – 3n 2

c) cn =

f) fn = 2n

g) gn = –2n

d) dn =

n2
n+1

h)hn = (–2)n

a) an = n 3 – 10n 2
an 8 +@

(–9, –32, –63, –96, –125, –144, –147, –128, –81, 0, 121, …)
b) bn = 5 – 3n 2
c) cn =

n+5
2–n

d) dn =

n2
n+1

e) en = sen

π
n
4

(2, –7, –22, –43, –70, –103, –142,–187, –283, …)

(
(
(√

9 10 11
12
13 14
6, …, –8, – , – , –
,– ,–
,– ,…
2
3
4
5
6
7
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
, , ,
,
,
,
,
,
,
,…
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2
√2
√2
√2
, 1,
, 0, –
, –1, –
, 0, …
2
2
2
2

)

)

)

bn 8 – @
cn 8 –1
dn 8 +@

en no tiene límite

f) fn = 2n

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …)

fn 8 +@

g) gn = –2n

(–2, –4, –8, –16, –32, –64, –128, –256, …)

gn 8 –@

h) hn = (–2)n

(–2, 4,–8, 16, –32, 64, –128, 256, …)

Unidad 8. Límites de funciones. Continuidad

hn no tiene límite

3

Página 225
1. Si u (x) 8 2 y v (x) 8 –3 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@
de:
a) u (x) + v (x)
c)

b) v (x)/u (x)

5u (x)

d) √v (x)
3

e) u (x) · v (x)

f ) √u (x)

[u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1
a) x lím
8 +@

v (x)
–3
=
b) x lím
u(x)
2
8 +@

5 u(x) = 5 2 = 25
c) x lím
8 +@

√v (x)
d) xlím
8 +@

[u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6
e) x lím
8 +@

√u (x) = √2
f) x lím
8 +@

3

no existe
3

2. Si u (x) 8 –1 y v (x) 8 0 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@
de:
a) u (x) – v (x)

b) v (x) – u (x)

c) v (x)/u (x)

d) log2 v (x)

e) u (x) · v (x)

f ) √u (x)

3

a) lím [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1
x 8 +@

b) lím [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1
x 8 +@

c) lím

x 8 +@

v (x)...