Unidad 0 Repaso 1 Triangulos

CURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT
UNIDAD 0 – REPASO 1º
REPASO SOBRE TRIÁNGULOS
Clasificación de los triángulos
Por sus lados

Propiedad
La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º

A + B + C = 180°
Los ángulos en la base, es decir el A y el B, son iguales a sus homónimos, en
el vértice C, por alternos internos y como estos últimos 3 forman un llano,
esto justifica la igualdad anterior.
De loanterior se deduce que en todo triángulo hay, al menos, dos ángulos
agudos. Este hecho nos permite clasificar los triángulos en virtud de sus
ángulos.

Teorema del ángulo exterior
“Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.”

Si trazo por A una recta auxiliar paralela a BC, el ángulo α queda seccionado en 2, uno
de ellos es correspondiente con justifica este postulado.

Corolario:
En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos
interiores.

Clasificación Por sus ángulos

Mediatrices de un Triángulo
Definición:”Son rectas formadas por los puntos del plano que equidistan de los
extremos de los lados del triángulo”
Las mediatrices de un triángulo sonconcurrentes y este punto de concurrencia
equidista de los tres vértices. Su nombre es Circuncentro.

Demostración:

, sean

Sea el triángulo

y

mediatrices de

y

.

Hay que demostrar:

1. O está en la mediatriz de BC.
2.
Parte II)
Trace

,

perpendicularmente a
tiene que

y

. Se tiene que
y

está en la línea recta que corta

, por el definición de mediatriz de un segmento, se
y

por lo tantoParte I)
Dado que

, por definición de mediatriz, se tiene que
mediatriz de

está en la

.

Definición:”El punto donde concurren las mediatrices de un triángulo se denomina
circuncentro, es el único punto del plano que equidista de los 3 vértices”

Alturas de un triángulo
Def.:”Se llama altura de un triángulo a una recta, que pasa por un vértice y es
perpendicular al lado opuesto”

Concurrencia delas alturas

“Las alturas de un triángulo concurren en un punto H, denominado Ortocentro”.

DEMOSTRACION. Las alturas son las perpendiculares bajadas desde los vértices a los lados
opuestos. Sea ABC dado y sea DEF el triángulo de las paralelas desde los vértices a los lados
opuestos. Estos triángulos configuran los paralelogramos ABCD, ABCE, ABCF. Claramente AE
= AF, CD = CE y BD = BF. Es decir A,B, C son los puntos medios de los lados de DEF. Por
tanto las alturas del ABC, son las mediatrices del EFD y como ya probamos que estas concurren
entonces queda probado que las alturas también. El punto H, es el Ortocentro del ABC y, al
mismo tiempo, es el circuncentro del EFD.

Definición de

Paralela media

“La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama
paralela media,es paralela al tercer lado y el segmento de recta que une ambos
puntos medios es la mitad del lado al que es paralelo.”
Recíprocamente la paralela a un lado desde el punto medio de otro lado intersecta al tercero en su punto medio.

DEMOSTRACION. En las notaciones de la figura queremos decir que sí AD = DB y AE = EC, entonces DE || BC y BC = 2DE.

En efecto si A’, B’, C’ son las proyeccionesortogonales de A, B, C sobre la recta DE, BCC’B’
es un rectángulo por lo cual DE || BC. Las congruencias de los triángulos ADA’, BDB’ y de
AEA’ y CEC’, aseguran la identidad:
BC = B’C’ = B’D + DA’ + A’E + EC’ = 2DA’ + 2 A’E = 2DE
Por otra parte, si D’ y E’ son las proyecciones de D y E sobre el lado BC, la congruencia de los
triángulos A A’D y BB’D, por una parte, y de AA’E y EE’C entraña la igualdadAE = EC.

Medianas de un Triángulo
Definición de Mediana.
“Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por un vértice y por el punto medio de su
lado opuesto”
Las medianas AA’, BB’, CC’ concurren a un punto, el "centro de gravedad" del triángulo, que
notaremos por G y que se denomina Baricentro.

Demostración:
En la figura (a) BB’ y CC’ se cortan en I, si D, E son los puntos medios de BI,...

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