UNIDAD 4 Calculo Integral
Páginas: 16 (3835 palabras)
Publicado: 20 de febrero de 2014
INDICE
4. SERIES
4.1 DEFINICIÓN DE SERIE.
4.1.1 INFINITA.
4.1.2 FINITA.
4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE RAZÓN (CRITERIO DE D’ ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY).
4.3 SERIE DE POTENCIAS.
4.4 RADIO DE CONVERGENCIA.
4.5 SERIE DE TAYLOR.
4.6 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE SERIE DETAYLOR.
4.7 CÁLCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR.
INTRODUCCIÓN
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 +… donde, indica que la serie continúa indefinidamente.
Una manera común deestudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos.
Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.
Dos de las cuestiones masimportantes sobre una serie son:
*¿Converge?
*Si es así, ¿a dónde?
Por ejemplo, es fácil ver que para r > 1, la serie geometrica Sn(r) no converge a un número finito ( es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el numero de términos en la serie Sn® aumenta, quizás un hecho mas sorprendente e interesante es que para l r l < 1, Sn® converge a un valor infinito.Específicamente, es posible demostrar que:
De hecho, consideramos la cantidad:
Puesto que rn+1 → 0 cuando n→∞ para l r l < 1, esto demuestra que (1 – r) Sn® → r cuando n → ∞. La cantidad 1 – r es diferente a cero y no depende de n así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.
Nos gustaría poder obtener conclusiones sobre cualquier serie.
Desafortunadamente, nohay un modo simple de sumar una serie. Lo asque podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.
4.1 DEFINICION DE SERIES
En matemáticas una serie es la suma de los términos que una sucesión. Se representa unaserie con términos an como donde n es índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i = 1,2,3,…
Las series convergen o divergen.
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos critierios que, aplicadosa la serie en cuestión, mostraran de que tipo es(convergente o divergente).
Si L< 1, la serie converge.
Si L> 1, entonces la serie diverge.
Si L= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de raabe.
Algunos tipos de series
Una serie geométrica es una serie en la cual cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón.Ejemplo (con constante 1/2):
En general, una serie geométrica, la razón z, es convergente, sólo si lzl < 1, a:
La serie armónica es la serie
la serie armonica es divergente.
Una serie telescópica es la suma , donde an = bn – bn+1. Se representa de la siguiente manera:
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
SN = (b0 – b1) + (b1 –b2) +…+ (bN-1 – bN) + (bN - bN+1 ) = b0 – bN+1
Una serie hipergeométrica es una serie de la forma , que cumple que .
4.1.1 SERIE FINITA
Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.
Así haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 – ½ b, el cociente tendrá muchos términos...
INDICE
4. SERIES
4.1 DEFINICIÓN DE SERIE.
4.1.1 INFINITA.
4.1.2 FINITA.
4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE RAZÓN (CRITERIO DE D’ ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY).
4.3 SERIE DE POTENCIAS.
4.4 RADIO DE CONVERGENCIA.
4.5 SERIE DE TAYLOR.
4.6 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE SERIE DETAYLOR.
4.7 CÁLCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR.
INTRODUCCIÓN
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 +… donde, indica que la serie continúa indefinidamente.
Una manera común deestudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos.
Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.
Dos de las cuestiones masimportantes sobre una serie son:
*¿Converge?
*Si es así, ¿a dónde?
Por ejemplo, es fácil ver que para r > 1, la serie geometrica Sn(r) no converge a un número finito ( es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el numero de términos en la serie Sn® aumenta, quizás un hecho mas sorprendente e interesante es que para l r l < 1, Sn® converge a un valor infinito.Específicamente, es posible demostrar que:
De hecho, consideramos la cantidad:
Puesto que rn+1 → 0 cuando n→∞ para l r l < 1, esto demuestra que (1 – r) Sn® → r cuando n → ∞. La cantidad 1 – r es diferente a cero y no depende de n así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.
Nos gustaría poder obtener conclusiones sobre cualquier serie.
Desafortunadamente, nohay un modo simple de sumar una serie. Lo asque podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.
4.1 DEFINICION DE SERIES
En matemáticas una serie es la suma de los términos que una sucesión. Se representa unaserie con términos an como donde n es índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i = 1,2,3,…
Las series convergen o divergen.
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos critierios que, aplicadosa la serie en cuestión, mostraran de que tipo es(convergente o divergente).
Si L< 1, la serie converge.
Si L> 1, entonces la serie diverge.
Si L= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de raabe.
Algunos tipos de series
Una serie geométrica es una serie en la cual cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón.Ejemplo (con constante 1/2):
En general, una serie geométrica, la razón z, es convergente, sólo si lzl < 1, a:
La serie armónica es la serie
la serie armonica es divergente.
Una serie telescópica es la suma , donde an = bn – bn+1. Se representa de la siguiente manera:
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
SN = (b0 – b1) + (b1 –b2) +…+ (bN-1 – bN) + (bN - bN+1 ) = b0 – bN+1
Una serie hipergeométrica es una serie de la forma , que cumple que .
4.1.1 SERIE FINITA
Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.
Así haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 – ½ b, el cociente tendrá muchos términos...
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