Unidad10

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10 FUNCIONES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

10.1 Halla el dominio y el recorrido de estas funciones.
a) f (x) ‫ ؍‬3x ؊ 1

b) g(x) ‫ ͦ ؍‬x ͦ

c) h(x) ‫ ؍‬x3

a) D(f) ϭ R; Recorrido (f) ϭ R

b) D(g) ϭ R; Recorrido (g) ϭ [0, ϩϱ)

c) D(h) ϭ R; Recorrido (h) ϭ R

10.2 Calcula el dominio de estas funciones.
5x
2
ᎏ
b) g(x) ‫͙ ؍‬x
؊x
؊6
a) f (x) ‫؍‬ᎏ
ෆ
ෆ
x2 ؊ 1
a) D(f) ϭ R Ϫ {Ϫ1, 1}

b) D(g) ϭ (Ϫϱ, Ϫ2) ʜ (3, ϩؕ)

2x ؉ 3
c) h(x) ‫ ؍‬ᎏ
ᎏ
x(x 2 ؉ 1)

d) j(x) ‫؍‬

c) D(h) ϭ R Ϫ {0}

d) D(j) ϭ R

2
؉ 2x
؉1
ෆ
ෆ
͙xෆ

10.3 Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) ‫ ؍‬x 3.
La función f(x) ϭ x 3 es constantemente creciente, pues TV [x, x ϩ h] ϭ (x ϩ h)3 Ϫ x 3 Ͼ 0,

Y
1

ya que si h Ͼ 0, x ϩ h Ͼ x, y, en consecuencia, (x ϩ h)3 Ͼ x 3.

f(x) = x3
X

O 1

10.4 Indica en qué intervalos es creciente o decreciente la función y ‫ ؍‬x 4 ؊ 2x 2.
A la vista de la gráfica se observa que:

Y

f(x) es creciente en: (Ϫ1, 0) ʜ (1, ϩϱ).
f(x) es decreciente en: (Ϫϱ, Ϫ1) ʜ (0, 1).

1
X

O 1
f (x) = x 4 _ 2x2

10.5 Señala los máximos y mínimos de estas funciones.
Y

a)

Y

X

O

1
O

b)

1
1

X

1

a) La función presenta máximos relativos en lospuntos (0, 2), (2, 1)
y (5, 3); un máximo absoluto en (5, 3); mínimos relativos en (1, 0),
(3, Ϫ1) y (7,0) y un mínimo absoluto en (3, Ϫ1).
b) La función presenta máximos relativos en los puntos (Ϫ2, 1) y
(2, 2); un máximo absoluto en (2, 2); un mínimo relativo en (0, Ϫ1)
y un mínimo absoluto en (0, Ϫ1).

10.6 Indica los máximos y mínimos de estas funciones.
a) y ‫ ؍‬3x ؉ 2

b) y ‫ ͦ ؍‬x ͦ

c) y ‫(؍‬x ؊ 2)2 ؉ 3

d) y ‫ ؍‬x 2 ؊ 4

a)

b)

c)

d)

a)

Y

b)

Y

c)

Y

1
X

O

O

y= x

1
1

No tiene ni máximos
ni mínimos.

1

X

y = (x – 2)2 + 3
1

X

1
O

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Y
1

y = 3x + 2

O

d)

Presenta un mínimo
absoluto en el origen.

y = x2 – 4
1

Presenta un mínimo
absoluto en (2, 3).

X

Presenta un mínimo
absoluto en (0, Ϫ4).

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10.7 Indica si esperiódica la siguiente función. En caso afirmativo, calcula su período.
La función dada por su gráfica es periódica, de período 2,
ya que f(x) ϭ f(x ϩ 2).

Y

–1

1

O

2

3

5

4

6

X

10.8 Estudia si están acotadas y qué tipo de acotación presentan las siguientes funciones.
b) y ‫ ؍‬x 2 ؊ 3

a) y ‫ ؍‬5

Y

Y
y=5

1
O

X

1

1
O

1

X
y = x2 – 3

Está acotada superior e inferiormente.

Está acotadainferiormente.

10.9 Comprueba si están acotadas y qué tipo de acotación presentan las siguientes funciones.
1
a) y ‫—— ؍‬2
b) y ‫ ؍‬؊ ͦ x ؉ 3 ͦ
x
Y

Y
1
1
y = —2
x

O

1
O

1 X

y=–x+3
1

X

Está acotada inferiormente.

Está acotada superiormente.

10.10 La función f(x) asocia a cada número real su parte decimal. Por ejemplo: f (2, 6) ‫ ؍‬0,6; f(؊4, 2) ‫ ؍‬0,2.
a) Dibuja su gráfica.
b) ¿Es periódica?En caso afirmativo, indica su período.
c) ¿Está acotada?
a)

b) No es periódica.

Y

c) Está acotada superior e inferiormente.

1
O

1

X

10.11 ¿Presentan algún tipo de simetría estas funciones?
a) y ‫ ؍‬3x

b) y ‫ ؍‬3x ؉ 2

c) y ‫ ؍‬5x 2 ؉ 3

a) f(Ϫx) ϭ 3(Ϫx) ϭ Ϫ3x ϭ Ϫf(x). Simetría impar.
b) f(Ϫx) ϭ 3(Ϫx) ϩ 2 ϭ Ϫ3x ϩ 2. No presenta ninguna simetría.
c) f(Ϫx) ϭ 5(Ϫx)2 ϩ 3 ϭ 5x 2 ϩ 3 ϭ f(x).Simetría par.
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10.12 Estudia la simetría de las siguientes funciones.
b) y ‫ ؍‬؊3x 2 ؉ 1

a) y ‫ ͦ ؍‬x ͦ

c) y ‫ ؍‬؊2x 3 ؉ 2

a) f(Ϫx) ϭ ͉Ϫx| ϭ͉ x ͉ ϭ f(x). Simetría par.
b) f(Ϫx) ϭ Ϫ3(Ϫx)2 ϩ 1 ϭ Ϫ3x 2 ϩ 1. Simetría par.
c) f(Ϫx) ϭ Ϫ2(Ϫx) 3 ϩ 2 ϭ 2x 3 ϩ 2. No presenta simetrías.
10.13 Si f(x) ‫ ͦ ؍‬x ͦ, g(x) ‫ ؍‬3x y h(x) ‫ ؍‬x 2 ؉ 4, calcula lassiguientes funciones.
b) f ؉ 2g

a) 3f

g
d) ——
h

c) g ؒ h

a) 3f(x) ϭ 3 и f(x) ϭ 3͉ x ͉

c) (g и h) (x) ϭ 3x и (x 2 ϩ 2) ϭ 3x 3 ϩ 6x

b) (f ϩ 2g) (x) ϭ f(x) ϩ 2g(x) ϭ ͉ x ͉ ϩ 2 и 3x ϭ ͉ x ͉ ϩ 6x

g
3x
d) ᎏᎏ (x) ϭ ᎏ
ᎏ
h
x2 ϩ 4

΂΃

10.14 Dadas las funciones f(x) ‫ ؍‬5x 2 ؉ 3 y g(x) ‫ ؍‬x ؉ 7:
a) Calcula las funciones g ؇ f y f ؇ g.
b) ¿Es conmutativa la composición de funciones?
a) (g ‫ ؠ‬f) (x)...